Jogo de Sperner 
Texto IV
Acabámos de ver que, se houver um caminho entrando pelo lado direito do triângulo grande e não voltando a sair por esse lado, ele necessariamente pára. Ora, já tínhamos visto que um caminho só pára quando encontra um pequeno triângulo com três cores.
Portanto, basta-nos mostrar que há um caminho entrando do lado direito e não voltando a sair por esse lado, para concluirmos que há necessariamente um pequeno triângulo com as três cores e termos então o nosso problema resolvido!
Olhemos com mais atenção para as mudanças de cor (vermelho e verde) quando se percorre o lado direito no sentido fixado (contrário ao do movimento dos ponteiros de um relógio e que, no caso deste lado direito do triângulo grande, é de baixo para cima). Como começa em vermelho, a primeira mudança terá de ser de vermelho para verde e a segunda é certamente em sentido contrário; há uma alternância na ordem em que as mudanças de cor ocorrem.
Nas duas figuras, os números entre parêntesis referem-se às mudanças de cor em sentido contrário. Como o primeiro disco é vermelho e o último verde, ao todo há sempre mais uma mudança no bom sentido do que no mau.
Ora:
- sempre que há uma mudança no bom sentido, há um caminho que começa; e,
- desses caminhos, cada um dos que saem novamente pelo mesmo lado, sai entre dois discos vermelho-verde, mas a mudança, no momento da saída, é no mau sentido.
Conclusão: como há mais mudanças no bom sentido do que no mau, há pelo menos um caminho que não tem por onde sair. E esse caminho tem de terminar num pequeno triângulo com três cores, isto é, o jogo nunca empata!
Nós marcámos os caminhos sempre a partir do mesmo lado (vermelho-verde). Poderíamos ter feito um raciocínio análogo para qualquer dos outros dois lados do triângulo grande.
Se, no jogo, clicar na ponta de cada seta do pequeno triângulo à esquerda em cima, pode fazer aparecer/desaparecer os caminhos todos. Faça várias experiências e observe os resultados. Exemplos:
