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Formação matemática de nadadores-salvadores
Imaginemos o seguinte cenário: num pedaço de costa retilínea e sem corrente, um banhista pede socorro e o nadador-salvador, suposto em terra, dirige-se para o salvar. Que percurso deve seguir para demorar o mínimo tempo possível?
Fig 1
Claro que a resposta depende à partida das velocidades, de corrida em terra e de natação na água, do nadador-salvador. No caso de elas serem iguais, o percurso mais rápido coincide com o percurso mais curto e, portanto, é o segmento de reta que une a posição inicial do nadador-salvador à do banhista. Mas, em geral, a velocidade de corrida é francamente superior à de natação... Como determinar com precisão o melhor ponto \(C\) na linha de costa, onde fazer a transição da corrida para a natação?
No artigo "Formação matemática de nadadores-salvadores", publicado pelo Atractor na Gazeta de Matemática, esta questão é resolvida geometricamente para um caso particular. Uma demonstração geral está patente nas páginas do site, apresentada na forma de applet.
No artigo, é ainda apresentado um outro problema semelhante, mas que, contrariamente ao anterior, não é representável adequadamente num plano, exigindo uma representação no espaço: num lago, há peixes, nadando a diversas profundidades, e sobre o qual voam aves a diferentes altitudes. Essas aves fazem voos picados, mergulhando na água para pescar os peixes. Qual a melhor escolha possível de percurso para a ave?
Fig 2
O artigo referido foi publicado
no âmbito do "Ano Mundial da luz" e é pois natural
interrogarmo-nos qual a relação destes problemas com a luz.
A relação é simples de enunciar: quando a luz percorre
um meio diferente do vazio, a sua velocidade de propagação
é diferente e depende do meio. E o percurso de um raio luminoso
que parte de um ponto \(A\) e passa por outro ponto \(B\) tem
uma forma tal que minimiza o tempo de percurso (princípio de Fermat).
Por exemplo, a velocidade de propagação da luz é,
no ar, bastante superior à que tem lugar na água.
A direcção do raio luminoso tem uma alteração
na superfície de transição dos dois meios, com ângulos
satisfazendo à condição deduzida no artigo.
À relação entre as velocidades de propagação
da luz, no ar e na água, chama-se índice de refração
da água relativamente ao ar.
