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Fenda Hiperbólica
Em Março de 2000, o Atractor foi convidado para conceber e realizar uma exposição temporária de Matemática, que viria a ser inaugurada naquele ano no Pavilhão do Conhecimento, chamada Matemática Viva. No âmbito desta exposição, foi pensado para o exterior um módulo expositivo, que seria visível pelas pessoas que passavam no local, tendo a escolha recaído sobre a Fenda Hiperbólica:
Fig 1
O módulo, resguardado num cubo com mais de dois metros de lado e paredes laterais de vidro, é constituído por duas hastes rectilíneas inclinadas, presas numa placa circular que gira continuamente em torno de um eixo vertical (ver figura 2 e uma animação). Este módulo pode agora ser visitado nas arcadas da Reitoria da Universidade do Porto.
Fig 2
Sobre uma das diagonais da base quadrada existe uma grande placa rectangular vertical, de aço, placa essa que tem apenas duas ranhuras curvas. Parece evidente a priori que as duas hastes rectilíneas nunca poderão passar pelas fendas curvas sem roçarem nos seus bordos. O aspecto inesperado para o observador desprevenido e que cria o efeito espectacular do módulo é a descoberta que esta óbvia impossibilidade não é real: o observador assiste, dir-se-ia com suspense e surpresa, à passagem das hastes rectilíneas sem tocarem os bordos da fenda curva.
Qual a matemática envolvida? Imaginemos uma recta vertical (fixa) e outra recta rodando em torno da primeira. Há três possibilidades distintas: as duas rectas são paralelas, concorrentes ou nem uma coisa nem outra (ver figura 3). No primeiro caso, reunindo os pontos de passagem da recta móvel, obtemos um cilindro - o cilindro de revolução gerado pela recta móvel girando em torno da recta fixa.
Fig 3
No segundo caso, temos um (duplo) cone de revolução, com vértice no ponto de encontro das duas rectas. O terceiro caso é o que nos interessa: a superfície gerada é um hiperbolóide de revolução. Podemos garantir que nenhuma das posições da recta móvel leva a pontos fora do referido hiperbolóide. Então, se, no caso do nosso módulo, intersectarmos essa superfície com o plano diagonal acima referido, nenhuma posição da recta móvel terá pontos fora da curva obtida pela intersecção do plano com o hiperbolóide. Assim, abrindo uma ranhura na placa vertical à volta dessa curva (ver figura 5), em nenhuma posição a recta móvel toca no resto da placa. Por outras palavras, a haste móvel passa pela ranhura. E que curva é esta? Trata-se de uma hipérbole.
O Atractor concebeu um módulo virtual que permite obter as diversas formas, dando ao utilizador a possibilidade de variar, quer a distância, quer a inclinação da haste relativamente ao eixo de rotação.
Fig 6
E se em vez de uma só chapa, tivéssemos agora cinco chapas como obstáculo? Veja uma animação do Atractor com um exemplo de uma tal situação:
Fig 7
