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Construindo cónicas
No canal youtube do Atractor, encontra descrições sobre como construir as três cónicas usando um "fio esticado".
O método mais conhecido é o do "jardineiro", utilizado na delineação de canteiros elípticos: o jardineiro começa por fixar um fio a dois pregos (no chão) e, com uma haste, mantendo sempre o fio esticado, desenha um arco de elipse, ao correr a haste ao longo do fio.
Porque funciona? Para cada ponto \(P\) da curva desenhada, a soma das distâncias de \(P\) aos dois pontos fixos \(F_{1}\) e \(F_{2}\) (correspondentes aos pregos) é igual ao comprimento do fio e, portanto, é constante.
Na construção da parábola com "fio esticado", usa-se um esquadro e uma régua: há um fio preso a um prego e ao topo do esquadro que está pousado na régua. Com o giz estica-se o fio e encosta-se ao esquadro: ao deslizar o esquadro sobre a régua, o giz desenha um arco de parábola.
Porque funciona? Consideremos uma recta \(r\) paralela à régua e tal que a distância ao topo do esquadro seja \(d\), o comprimento total do fio:
Temos então: \[PQ+PF=d=dis(Q,r)=PQ+dis(P,r)\]
Assim, \(PF=dis(P,r)\), i.e., para qualquer ponto \(P\) da curva, a distância de \(P\) a \(F\) (prego) é igual à distância de \(P\) a \(r\), pelo que a curva é uma parábola.
Por fim, a construção da hipérbole passa por prender um fio e a uma extremidade de uma régua e a um prego, e rodar a outra extremidade da régua em torno de outro prego. Com o giz estica-se o fio e encosta-se à régua: ao rodar a régua, o giz desenha um arco de hipérbole.
Porque é que funciona? Designemos por \(d\) e \(k\), respectivamente, os comprimentos do fio e da régua (supomos \(d<k\)).
Então \(QP+PF_{1}=d\). Como, por sua vez, \(QP=k-PF_{2}\), obtém-se \(k-PF_{2}+PF_{1}=d\), logo \(PF_{2}-PF_{1}=k-d\). Conclui-se que a curva é uma hipérbole. O outro ramo obtém-se colocando a régua a rodar em \(F_{1}\) e o fio preso a \(F_{2}\).
