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Dois problemas geometricos
O Porisma de Steiner tem a ver com o seguinte: fixado um par de circunferências disjuntas no plano, será sempre possível construir uma sucessão finita de \(n\geq3\) circunferências, todas tangentes às duas iniciais, e tal que cada uma das novas seja tangente à anterior e a última seja tangente não só à anterior mas também à primeira?
A primeira figura mostra uma escolha do par inicial em que é possível. Da segunda figura não concluímos nada imediatamente: começando pela circunferência azul-clara dessa figura, o anel não fecha, mas a priori poderíamos imaginar que, para uma posição diferente da circunferência inicial do anel, o novo anel já fechasse (ver figura 3).
É fácil concluir que nem sempre há um anel que feche e basta escolher como contraexemplo o par de circunferências concêntricas representado nas figuras 4 e 5: na primeira figura, começando pela circunferência azul, na posição indicada, o anel não fecha; ora é claro que, por razões de simetria, fechar ou não fechar não depende neste caso da posição inicial do anel.
Esta última observação sugere outra questão interessante: haverá algum par de circunferências iniciais, em que o anel feche para certa escolha da primeira circunferência do anel e não feche para outra escolha (da primeira circunferência)? Num artigo publicado pelo Atractor na Gazeta de Matemática e, na correspondente secção (mais ampla) no site, esta questão é tratada, podendo ainda encontrar informação adicional e aplicações interativas (Java, Mathematica–CDF e Geogebra) com as quais poderá manipular situações e desenvolver alguma intuição geométrica.
O problema descrito envolve certos anéis de circunferências tangentes no plano. É natural pensar se não haverá problemas de índole semelhante, envolvendo anéis de superfícies esféricas no espaço euclidiano tridimensional. É neste contexto que surge o Hexlet, que, sem ser a simples transposição do problema anterior no plano, com ele apresenta algumas semelhanças.
