Viagem ao Interior de PI 
Um pouco de História
As primeiras estimativas para
\(\pi\)
resultaram da sua medição directa. Por este método podia-se obter
\(\pi\)
com uma ou duas casas decimais, o que era certamente suficiente para as
necessidades práticas da Antiguidade.
No entanto, mesmo nessa altura havia quem se dedicasse ao
cálculo de
\(\pi\)
para além de qualquer necessidade prática.
O primeiro a conseguir resultados nesse campo foi Arquimedes
que apresentou um método geométrico para o cálculo de
\(\pi\),
hoje conhecido pelo seu nome. O método consiste em circunscrever e inscrever
um polígono de \(n\) lados para uma dada circunferência.
O perímetro da circunferência estaria compreendido entre os perímetros dos polígonos.
Deste modo conseguiu deduzir que o valor de \(\pi\)
estaria compreendido entre \[3\frac{10}{71}<\pi<3\frac{1}{7},\]ou seja, \(3.140<\pi<3.142\)
O resultado de Arquimedes seria obtido com polígonos constituídos por 96 lados.
Este terá sido o sinal de partida para a corrida iniciada
pelos caçadores de dígitos de
\(\pi\).
A partir deste método foram deduzidas inúmeras fórmulas que
foram permitindo calcular
\(\pi\)
com cada vez mais precisão.
Outros métodos foram entretanto descobertos e permitiam obter
\(\pi\)
mais rapidamente, até chegarmos aos algoritmos utilizados actualmente e que
permitem em cada iteração quadruplicar e mais, o número de dígitos calculados.
A seguir faz-se um resumo das
etapas mais significativas para o cálculo de
\(\pi\)
ao longo dos tempos.
François Viéte em 1593:\[\frac{2}{\pi}=\sqrt{\frac{1}{2}}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}}}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}}}}...\] Baseada no método de Arquimedes.
John Wallis em 1655:\[\frac{\pi}{2}=\frac{2}{1}\frac{2}{3}\frac{4}{3}\frac{4}{5}\frac{6}{5}\frac{6}{7}\frac{8}{7}\frac{8}{9}...\]De fácil utilização mas de convergência lenta para
\(\pi.\)
William Brouncker em 1658:\[\frac{4}{\pi}=1+\frac{1^{2}}{2+\frac{3^{2}}{2+\frac{5^{2}}{2+\frac{7^{2}}{2+\frac{9^{2}}{2+...}}}}}\]
James Gregory em 1671:\[\arctan(x)=x-\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}-\frac{x^{7}}{7}+...\]Abriu as portas a uma nova era para o cálculo de \(\pi\) uma vez que \(\arctan(1)=\frac{\pi}{4}\).
Fórmula de convergência muito lenta para
\(\pi\).
Foi publicada por Leibnitz em 1673.
Newton:\[\arcsin(x)=x+\frac{1}{2}\frac{x^{3}}{3}+\frac{1}{2}\frac{3}{4}\frac{x^{5}}{5}+...\]\(\arcsin(\frac{1}{2})=\frac{\pi}{6}\). De convergência mais rápida que a fórmula de
Gregory/Leibnitz.
John Machin em 1706:\[\frac{\pi}{4}=4\arctan\left(\frac{1}{5}\right)-\arctan\left(\frac{1}{239}\right).\]Esta fórmula convergente muito mais rapidamente que \(\arctan(1)\).
Com ela Machin calculou os 100 primeiros
algarismos significativos de
\(\pi\).
Marcou o início de uma nova era.
Euler:\[\arctan(x)=\frac{y}{x}\left(1+\frac{2}{3}y+\frac{2}{3}\frac{4}{5}y^{2}+\frac{2}{3}\frac{4}{5}\frac{6}{7}y^{3}+...\right),\]com \(y=\frac{x^{2}}{1+x^{2}}.\)
Fórmula mais rápida apesar de exigir um maior esforço de cálculo.
Com um conjunto de relações envolvendo \(\arctan\) deduzidas
por Euler a partir da ideia de Machin,
foi possível deduzir um sem número de expressões para calcular cada vez
mais rapidamente
\(\pi\).
Somente alguns exemplos,\[\begin{array}{ccl}
\frac{\pi}{4} & = & \arctan(1)\\
\frac{\pi}{4} & = & \arctan\left(\frac{1}{2}\right)+\arctan\left(\frac{1}{3}\right)\\
\frac{\pi}{4} & = & 6\arctan\left(\frac{1}{8}\right)+2\arctan\left(\frac{1}{15}\right)+2\arctan\left(\frac{1}{239}\right)\\
\frac{\pi}{4} & = & 8\arctan\left(\frac{1}{10}\right)-\arctan\left(\frac{1}{239}\right)-4\arctan\left(\frac{1}{515}\right)\\
\frac{\pi}{4} & = & 12\arctan\left(\frac{1}{18}\right)+8\arctan\left(\frac{1}{57}\right)-5\arctan\left(\frac{1}{239}\right)\\
& & ...
\end{array}\]
Salamin em 1972, Brent
em 1976:\[\begin{array}{ccl}
a_{0} & = & 1\\
b_{0} & = & \frac{1}{\sqrt{2}}\\
a_{n+1} & = & \frac{a_{n}+b_{n}}{2}\\
b_{n+1} & = & \sqrt{a_{n}b_{n}}\\
U_{m} & = & \frac{4a_{m}^{2}}{1-2\sum_{j=1}^{m}2^{j}(a_{j}^{2}-b_{j}^{2})}\begin{array}{c}
\\
\longrightarrow\\
m\rightarrow\infty
\end{array}\pi
\end{array}\]Início da era moderna para o cálculo de
\(\pi\).
Com este algoritmo, em cada iteração, o número de algarismos
significativos calculados correctamente para
\(\pi\)
duplica.
Jonathan e Peter
Borwein:\[\begin{array}{ccl}
y_{0} & = & \sqrt{2}-1\\
a_{0} & = & 6-4\sqrt{2}\\
y_{n+1} & = & \frac{\left(1-y_{n}^{4}\right)^{-\frac{1}{4}}-1}{\left(1-y_{n}^{4}\right)^{-\frac{1}{4}}+1}\\
a_{n+1} & = & a_{n}(1+y_{n+1})^{4}-2^{2n+3}y_{n+1}(1+y_{n+1}+y_{n+1}^{2})\begin{array}{c}
\\
\longrightarrow\\
n\rightarrow\infty
\end{array}\frac{1}{\pi}
\end{array}\]Baseados nos trabalhos de Ramanujan.
Em cada iteração, é quadruplicado o número correcto de dígitos
calculados.
Por isso se diz um algoritmo de 4ª ordem.
Irmãos Chudnovsky:\[\frac{1}{\pi}=\frac{12}{\sqrt{6403203^{3}}}\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\frac{(6k)!}{(k!)^{3}(3k)!}\frac{13591409+545140134k}{(640320^{3})^{k}}\]Fórmula derivada com auxílio de um manipulador
simbólico matemático.
Bailey, P.Borwein
e Plouffe:\[\pi=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{16^{n}}\left(\frac{4}{8n+1}-\frac{2}{8n+4}-\frac{1}{8n+5}-\frac{1}{8n+6}\right)\]Esta fórmula foi publicada em 1997 e permite calcular o
\(n\)-ésimo dígito hexadecimal de
\(\pi\).
Na página seguinte apresentam-se alguns resultados
calculados para o valor de
\(\pi\)
ao longo dos tempos, baseados nalguns dos métodos descritos.
Como calcular \(\pi\) com um bilião de algarismos significativos?
