Viagem ao Interior de PI 
Aproximações para \(\pi\)
Desde sempre os matemáticos tentaram calcular o valor de \(\pi\).
Nas páginas da história da matemática em torno desta constante, ficaram registadas algumas expressões extraordinárias, cuja razão de existirem era a de determinarem um valor para \(\pi\).
Nos parágrafos seguintes apresentam-se alguns exemplos de aproximações racionais e irracionais para o valor de \(\pi\).
Ramanujan:
\[
\begin{split}
\frac{4}{\sqrt{522}}\ln\left[\left(\frac{5+\sqrt{29}}{\sqrt{2}}\right)^{3}\left(5\sqrt{29}+11\sqrt{6}\right)\left(\sqrt{\frac{9+3\sqrt{6}}{4}}+\sqrt{\frac{5+3\sqrt{6}}{4}}\right)^{6}\right]=\\
~\\
~\\
3.141592653589793238462643383279\;432
\end{split}
\]
Castellanos:\[\left(100-\frac{2125^{3}+214^{3}+30^{3}+37^{2}}{82^{5}}\right)^{\frac{1}{4}}=\\
~\\
~\\
3.1415926535897\mbox{ }80\]
Plouffe:\[(43)^{\frac{7}{23}}=3.1415\mbox{ }39\]\[\frac{\ln\left(262537412640768744\right)}{\sqrt{163}}=\\
~\\
~\\
3.141592653589793238462643383279\mbox{ }726\]
Euler:\[\frac{103993}{33102}=3.141592653\mbox{ }011\]
Dixon
Aproximação de Kochansky:\[\sqrt{\frac{40}{3}-2\sqrt{3}}=3.1415\mbox{ }33\]\[\frac{6}{5}\left(1+\phi\right)=3.141\mbox{ }64,\] sendo \(\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)
Aproximação de Kochansky:\[\sqrt{\frac{40}{3}-2\sqrt{3}}=3.1415\mbox{ }33\]\[\frac{6}{5}\left(1+\phi\right)=3.141\mbox{ }64,\] sendo \(\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)
Como curiosidade, na página seguinte são referidos alguns exemplos de expressões que envolvem \(\pi\) e que aproximam inteiros.
