Alguns lugares geométricos na métrica do táxi 1

 

 

Elipse

Sejam \(F_{1}\) e \(F_{2}\) dois pontos distintos do plano e \(D\) um número superior à distância (na geometria que está a ser considerada) entre \(F_{1}\) e \(F_{2}\). O lugar geométrico dos pontos do plano cuja soma das distâncias a \(F_{1}\) e a \(F_{2}\) é \( D\) diz-se uma elipse com focos \(F_{1}\) e \(F_{2}\).

Na geometria-do-táxi, uma elipse pode assumir formas distintas, dependendo das posições relativas dos focos. Vejamos alguns exemplos 2.

Seja \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{F_{1}F_{2}}\), com \(\overrightarrow{u}=(u_{1},u_{2})\).

Se \(\overrightarrow{u}\) for horizontal ou vertical (ou seja, \(u_{2}=0\) ou \(u_{1}=0\)), a elipse apresenta a forma de um hexágono.

No caso de o vector \(\overrightarrow{u}\) não ser nem horizontal nem vertical, a elipse apresenta a forma de um octógono.

No módulo, é possível variar a posição dos focos e descobrir a relação do comprimento dos lados do hexágono/octógono, com a distância (na geometria-do-táxi) entre os focos.

Hipérbole

Sejam \(F_{1}\) e \(F_{2}\) dois pontos distintos do plano e \(D\) um número inferior à distância (na geometria que está a ser considerada) entre \(F_{1}\) e \(F_{2}\). O lugar geométrico dos pontos do plano cujo valor absoluto da diferença das distâncias a \(F_{1}\) e a \(F_{2}\) é \(D\) diz-se uma hipérbole com focos \(F_{1}\) e \(F_{2}\).

Na geometria-do-táxi, uma hipérbole pode assumir diversas formas, dependendo das posições relativas dos focos. Vejamos alguns exemplos 3.

Seja \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{F_{1}F_{2}}\), com \(\overrightarrow{u}=(u_{1},u_{2})\).

Se \(\overrightarrow{u}\) for horizontal (ou seja \(u_{2}=0\)), a hipérbole é dada por duas rectas verticais paralelas.

Analogamente, se o vector \(\overrightarrow{u}\) for vertical (ou seja \(u_{1}=0\)), a hipérbole é dada por duas rectas horizontais paralelas.

No caso de o vector \(\overrightarrow{u}\) não ser nem horizontal nem vertical, podemos ainda distinguir as seguintes situações:

No módulo, é possível variar a distância/posição dos focos e descobrir a relação desses dados com o comprimento dos segmentos de recta.

Parábola

Sejam \(F\) um ponto do plano e \(d\) uma recta que não contém \(F\). O lugar geométrico dos pontos do plano que são equidistantes de \(F\) e de \(d\) diz-se uma parábola com foco \(F\) e directriz \(d\).

Na geometria-do-táxi, uma parábola pode assumir diversas formas, dependendo do declive da directriz. Vejamos alguns exemplos.

Se a directriz tiver declive \(1\) ou \(-1\), a parábola é dada por um segmento de recta paralelo à directriz e por duas semi-rectas (uma horizontal e outra vertical).

Se o valor absoluto do declive da directriz for inferior a \(1\), a parábola é dada por dois segmentos de recta e por duas semi-rectas verticais.

Se o valor absoluto do declive da directriz for superior a \(1\), a parábola é dada por dois segmentos de recta e por duas semi-rectas horizontais.

Procure, com o auxílio do módulo, descobrir a relação dos declives dos segmentos de recta, quando os há, com o declive da directriz.

Mediatriz

Sejam \(A\) e \(B\) dois pontos distintos do plano. Tomamos como definição de mediatriz de \([AB]\), o lugar geométrico dos pontos do plano que são equidistantes (na geometria que está a ser considerada) de \(A\) e de \(B\).

Na geometria-do-táxi, a mediatriz também pode assumir diversas formas, dependendo das posições de \(A\) e de \(B\). Seja \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}\), com \(\overrightarrow{u}=(u_{1},u_{2})\). Então:

No caso de o vector \(\overrightarrow{u}\) não ser nem horizontal nem vertical podemos ainda distinguir as seguintes situações:

No módulo deve notar-se que, quando \(A\) e \(B\) se afastam, a mediatriz tem um segmento cada vez maior comum à mediatriz euclidiana (o que se espera tendo em conta o quociente entre a distância de \(A\) a \(B\) na geometria-do-táxi e a distância euclidiana, e como se comporta esse quociente quando \(A\) e \(B\) se afastam).


1 Trabalho realizado no Atractor, no âmbito de uma bolsa atribuída pela Fundação para a Ciência e Tecnologia.
2 Em todos as imagens de elipses aqui apresentadas, considerou-se \(D=15\).
3 Em todos as imagens de hipérboles aqui apresentadas, considerou-se \(D=2\).