ATRACTOR

Seria igualmente interessante analisar, na perspectiva anterior, as propriedades dos triângulos equiláteros planos quando optamos por outros modos de medir as distâncias em \(\mathbb{R}^2\). Considere-se, por exemplo, a geometria-do-táxi \([3]\). Nesta geometria:

• A distância entre dois pontos é a soma dos valores absolutos das diferenças das respectivas coordenadas; isto é, dados dois pontos \(X=(x_1,x_2)\) e \(Y=(y_1, y_2)\) de \(\mathbb{R}^2\), então \(d_T(X,Y)=|x_1-y_1|+|x_2-y_2|.\)
• O ângulo orientado formado por dois segmentos \(OA\) e \(OB\), de comprimento \(R\), que se intersectam num ponto \(O\) é o valor que se obtém quando dividimos por \(R\) o comprimento do arco de circunferência de centro \(O\) (na distância \(d_T\)) que passa em \(A\) e em \(B\).

Para aceder a um módulo interactivo que permite medir rapidamente distâncias e ângulos nesta geometria, clique aqui.

Neste modo de medir comprimentos e ângulos, uma circunferência tem a forma de um quadrado da geometria euclidiana, com os lados fazendo \(45^\circ\) com os eixos coordenados; \(\pi\) é substituído por \(P=4\); e a soma dos ângulos de qualquer triângulo é \(P\).

Circunferência de raio \(6\) e centro em \(\{0,0\}\) na métrica do táxi

Circunferência euclidiana de raio \(6\) e centro em \(\{0,0\}\) e gráfico com a distância de cada ponto da circunferência ao ponto \(\{0,0\}\) na métrica do táxi. Note-se que a distância não é constante!

Para aceder a uma aplicação interactiva que lhe permitirá explorar, nesta métrica, vários lugares geométricos, como por exemplo elipse, parábola e hipérbole, clique aqui.

Uma parábola

Na geometria-do-táxi permanecem válidos quase todos os axiomas da geometria euclidiana. Contudo, com esta distância, um triângulo equilátero pode não ser equiângulo. Observe-se, por exemplo, o triângulo da figura seguinte cujos lados medem \(8\), dois dos ângulos têm amplitude \(\frac{3}{8}P\) e o terceiro mede \(\frac{P}{4}\).

Além disso, o Teorema de Pitágoras não admite uma extensão a esta métrica, como mostram os triângulos \(DEF\) e \(EBF\) da figura seguinte:

• um não equilátero, de lados \(1,\,1,\,2\), rectângulo em \(B\) e com hipotenusa medindo \(2\);
• outro que é equilátero, rectângulo em \(E\) e cuja hipotenusa também mede \(2\).

Adicionalmente, falham testes de semelhança que foram fundamentais no argumento anterior. Por exemplo, os triângulos \(ABC\) e \(DEF\) da figura anterior indicam que um triângulo nesta geometria não está univocamente determinado se forem conhecidos dois lados e o ângulo por eles formado.

Haverá algum critério, análogo ao que vimos no plano com a métrica euclidiana, para testar se um triângulo na geometria-do-táxi é equilátero?