Poliedros
Nesta página
apresentam-se não só alguns poliedros conhecidos como também
animações de poliedros duais.(As
animações e figuras foram construídas com o mathematica©
e traduzidas para Java usando applets de LiveGraphics3D.)
Dos diferentes poliedros, quais são simultaneamente convexos e
regulares?
Esses poliedros, já conhecidos na Grécia antiga, designam-se por
sólidos platónicos. Existem apenas cinco sólidos
platónicos - tetraedro, cubo, octaedro, icosaedro e dodecaedro.
Nota:
se clicar em cada uma das figuras do quadro abaixo, obterá o sólido representado
em tamanho maior e tem, por exemplo, a possibilidade de o pôr a "rodar" no espaço
(arrastando-o com o rato) ou de o abrir (utilizando o botão direito do rato).
Em caso de dúvida consulte
ajuda.
Uma vez
conhecidos todos os poliedros regulares convexos, é natural perguntar:
Será que todos os poliedros regulares são convexos?
Johannes Kepler, em 1619, descobriu dois poliedros que são simultaneamente
regulares e não convexos - o pequeno dodecaedro estrelado e o grande
dodecaedro estrelado. Dois séculos mais tarde provar-se-ia que existem
apenas nove poliedros nestas circunstâncias: os cinco sólidos
platónicos e quatro poliedros regulares não convexos - os poliedros
de Kepler-Poinsot.
Se considerarmos
um qualquer sólido platónico e «unirmos» os pontos
centrais de faces adjacentes, obtemos um novo sólido platónico
(observe o quadro inferior). Estes dois sólidos dizem-se duais
um do outro.
O quadro
anterior põe em evidência uma certa repartição dos
5 poliedros regulares em 3 classes: Tetraedro (dual de si próprio), Cubo
e Octaedro, Dodecaedro e Icosaedro.
Considere o par - octaedro/cubo - conte o número de faces, de
vértices e de arestas de cada um destes sólidos. Agora, considere
o par - dodecaedro/icosaedro e repita o mesmo procedimento. Por fim,
conte o número de faces e vértices do tetraedro. O que
concluíu?
As animações
apresentadas no quadro seguinte revelam que é possível construir
o dual de um dado sólido platónico, truncando-o sucessivamente.
No modelo
constituído por um tetraedro e o seu dual (que também é
um tetraedro) apresentado no quadro da dualidade, se ampliarmos o tetraedo interior
de forma que as arestas dos dois tetraedros estejam à mesma distância
do centro comum, obtemos um poliedro composto - a stella octangula.
