Pentágono regular

Seja MATH um pentágono regular, $d$ a medida da sua diagonal e $l$ a medida do seu lado. Supondo que $d$ e $l$ são comensuráveis, temos $d=mx$ e $l=nx$, onde $m$ e $n$ são inteiros positivos e $x$ é uma medida comum à diagonal e ao lado do pentágono.

Sejam $F$, $G$, $H$, $I$ e $J$ os pontos de intersecção das diagonais. Construindo a circunferência que circunscreve o pentágono, notemos que os pontos $A$, $B$, $C$, $D$ e $E$ dividem esta em arcos de igual amplitude, dada por MATH. Considerando, por exemplo, o triângulo $\left[ FBC\right] $, temos que MATH (ângulos inscritos numa circunferência têm como amplitude metade do valor do respectivo arco), logo ele é isósceles. Analogamente, os triângulos $\left[ GCD\right] $, $\left[ HDE\right] $, $\left[ IEA\right] $ e $\left[ JAB\right] $ também são isósceles. Além disso, são todos congruentes entre si, pois têm um lado e os ângulos adjacentes iguais. Logo, MATH e, como MATH, os triângulos $\left[ IAJ\right] $, $\left[ JBF\right] $, $\left[ FCG\right] $, $\left[ GDH\right] $ e $\left[ HEI\right] $ também são isósceles e congruentes entre si. Temos então que MATH e que MATH, pelo que MATH é um pentágono regular.

Como MATH e MATH, vem que $\left[ FCD\right] $ é isósceles, com MATH. Analogamente, $\left[ BCG\right] $ também é isósceles, com MATH. Além disso, como MATH, temos que $\left[ IJF\right] $ é isósceles e MATH, pelo que $\left[ BFI\right] $ também é isósceles, com MATH. Designando por $d_{1}$ a medida da diagonal de MATH e por $l_{1}$ a medida do seu lado, temos:

MATH

MATH

Como $d=mx$ e $l=nx$, temos:

MATH

MATH

onde $n_{1}=2n-m$ e $m_{1}=m-n$ são dois números inteiros positivos, com $m_{1}<m$. Procedendo da mesma forma com o pentágono MATH, vamos obter um novo pentágono regular cuja diagonal é $d_{2}=m_{2}x$ e cujo lado é $l_{2}=n_{2}x$, sendo que MATH e $m_{2}=m_{1}-n_{1}$ são dois números inteiros positivos, com $m_{2}<m_{1}<m$.

Uma vez que podemos continuar indefinidamente a construir novos pentágonos regulares, vamos obter uma sucessão estritamente decrescente de números inteiros positivos:

MATH

tal que MATH o que é absurdo, dado que não pode haver uma infinidade de números inteiros positivos distintos menores do que $m$ (de facto, existem exactamente $m-1$ elementos: $1$,$2$,$3$,...,$m-2$, e $m-1$). Logo, a diagonal e o lado de MATH são grandezas incomensuráveis.