Pentágono regular

Seja MATH um pentágono regular, $d$ a medida da sua diagonal e $l$ a medida do seu lado. Supondo que $d$ e $l$ são comensuráveis, temos $d=mx$ e $l=nx$, onde $m$ e $n$ são inteiros positivos e $x$ é uma medida comum à diagonal e ao lado do pentágono.

Construindo a circunferência que circunscreve o pentágono, notemos que os pontos $A$, $B$, $C$, $D$ e $E$ dividem esta em arcos de igual amplitude, dada por MATH. Seja $F$ o ponto de intersecção da diagonal $\left[ AC\right] $ com a diagonal $\left[ BD\right] $. Como MATH e MATH (ângulos inscritos numa circunferência têm como amplitude metade do valor do respectivo arco), temos que $\left[ FBC\right] $ é isósceles, com MATH. Como MATH e MATH, vem que $\left[ FCD\right] $ também é isósceles, com MATH. Além disso, MATH, sendo este o valor da amplitude do ângulo interno de um pentágono regular. Podemos então construir um novo pentágono regular MATH, que passa pelos pontos $B$, $C$ e $F$. Designando por $d_{1}$ a medida da sua diagonal e $l_{1}$ a medida do seu lado, temos:

MATH

MATH

Como $d=mx$ e $l=nx$, temos:

MATH

MATH

onde $n_{1}=m-n$ e $m_{1}=n$ são dois números inteiros positivos, com $m_{1}<m$. De facto, o ângulo de maior amplitude do triângulo $\left[ BCD\right] $ é o ângulo $\measuredangle BCD$, logo a este ângulo opõem-se o lado de maior comprimento e, portanto, MATH, ou seja, $m>n$.

Procedendo da mesma forma com o pentágono MATH, vamos obter um novo pentágono regular cuja diagonal é $d_{2}=m_{2}x$ e cujo lado é $l_{2}=n_{2}x$, sendo que $n_{2}=m_{1}-n_{1}$ e $m_{2}=n_{1}$ são dois números inteiros positivos, com $m_{2}<m_{1}<m$.

Uma vez que podemos continuar indefinidamente a construir novos pentágonos regulares, vamos obter uma sucessão estritamente decrescente de números inteiros positivos:

MATH

tal que MATH o que é absurdo, dado que não pode haver uma infinidade de números inteiros positivos distintos menores do que $m$ (de facto, existem exactamente $m-1$ elementos: $1$,$2$,$3$,...,$m-2$, e $m-1$). Logo, a diagonal e o lado de MATH são grandezas incomensuráveis.