Hexágono regular

Seja MATH um hexágono regular, $d$ a medida da sua diagonal mais curta e $l$ a medida do seu lado. Supondo que $d$ e $l$ são comensuráveis, temos $d=mx$ e $l=nx$, onde $m$ e $n$ são inteiros positivos e $x$ é uma medida comum à diagonal mais curta e ao lado do hexágono.

Seja $G$ o ponto na diagonal $\left[ AC\right] $ tal que MATH, $I$ o ponto de intersecção da recta $AB$ com a recta $CD$ e $H$ o ponto no segmento de recta $\left[ AI\right] $ tal que MATH. Notemos, em primeiro lugar, que o valor da amplitude do ângulo interno de um hexágono regular é de $120\U{ba}$. Então, como MATH, vem MATH, pelo que $\left[ BCI\right] $ é um triângulo equilátero. Relativamente aos triângulos $\left[ CHI\right] $ e $\left[ CHG\right] $, temos que MATH, MATH e $\left[ CH\right] $ é um lado comum, logo eles são congruentes, com MATH e MATH. Logo, MATH, MATH (note-se que $\left[ ABC\right] $ é isósceles, dado que MATH) e MATH, pelo que $\left[ AGH\right] $ é isósceles, com MATH. Podemos então construir um novo hexágono MATH, que passa pelos pontos $A$, $G$ e $H$. Designando por $d_{1} $ a medida da sua diagonal e $l_{1}$ a medida do seu lado, temos:

MATH

MATH

Como $d=mx$ e $l=nx$, temos:

MATH

MATH

onde $n_{1}=m-n$ e $m_{1}=3n-m$ são dois números inteiros positivos, com $n_{1}<n$. De facto, MATH, o que é absurdo, uma vez que, em qualquer triângulo, cada lado tem um comprimento menor do que a soma do comprimento dos outros dois lados; considerando, por exemplo, o triângulo $\left[ ABC\right] $, vem MATH.

Procedendo da mesma forma com o hexágono MATH, vamos obter um novo hexágono regular cuja diagonal é $d_{2}=m_{2}x$ e cujo lado é $l_{2}=n_{2}x$, sendo que $n_{2}=m_{1}-n_{1}$ e $m_{2}=3n_{1}-m_{1}$ são dois números inteiros positivos, com $n_{2}<n_{1}<n$.

Uma vez que podemos continuar indefinidamente a construir novos hexágonos regulares, vamos obter uma sucessão estritamente decrescente de números inteiros positivos:

MATH

tal que MATH o que é absurdo, dado que não pode haver uma infinidade de números inteiros positivos distintos menores do que $n$ (de facto, existem exactamente $n-1$ elementos: $1$,$2$,$3$,...,$n-2$, e $n-1$). Logo, a diagonal mais curta e o lado de MATH são grandezas incomensuráveis.