$$\left(\alpha+\beta+\gamma-\pi\right)r^{2}$$ onde α, β e γ são as amplitudes, em radianos, dos ângulos internos do triângulo e r é o raio da esfera.
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Como α+β+γ-π é o excesso angular de um triângulo esférico, a fórmula dada no Teorema de Girard indica-nos que a área de um triângulo esférico fica determinada pelo seu excesso angular e pelo raio da esfera, sendo que a área e o excesso angular são directamente proporcionais.
Em particular, o excesso angular é sempre positivo, donde podemos concluir que a soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo esférico é sempre superior a 180º. Quando o excesso angular é um valor próximo de zero (isto é, a soma das amplitudes dos ângulos internos é um valor próximo de π rad, ou 180º), o triângulo é "quase plano" e a sua área é "quase nula". Por outro lado, quando o excesso angular é um valor próximo de 4π rad, ou 720º (a soma das amplitudes dos ângulos internos é um valor próximo de 5π rad, ou 900º), a sua área é próxima da área da esfera.
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O Teorema de Girard conduz-nos ainda a outra enorme diferença entre a Geometria Euclidiana e a Geometria Esférica:
Como a área de um triângulo esférico depende apenas da soma dos seus ângulos internos, na esfera todos os triângulos com ângulos congruentes têm a mesma área; logo, são congruentes. Portanto, na Geometria Esférica não existem triângulos com a mesma forma e áreas diferentes. |
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