PARA SABER MAIS...

ÁREA DE UM TRIÂNGULO

 

1. Considere-se um triângulo esférico T contido numa semi-esfera.

Sabe-se que:

  • a área da esfera de raio r é igual a 4πr2;
 
  • a área de um biângulo de amplitude α é igual a 2αr2, com α em radianos, e é igual a
 $$\frac{\alpha\pi}{90}r^{2}$$ , com α em graus.

Considerando os três vértices do triângulo, temos seis biângulos dos quais três intersectam-se no interior do triângulo e os outros três biângulos intersectam-se no interior do triângulo antípoda. Na região esférica restante, os seis biângulos são disjuntos dois a dois.

Sejam α, β e γ as amplitudes em radianos dos ângulos internos do triângulo que são também as amplitudes dos seis biângulos. Temos que a soma da área dos seis biângulos é igual à área da esfera acrescida do dobro da área do triângulo esférico, AT , e do dobro da área do seu antípoda. Como a área de T é igual à àrea do seu antípoda, obtemos:

$$\begin{array}{lrlll}
& 2\times(2\alpha r^{2}+2\beta r+2\gamma r^{2}) & = & 4\pi r^{2}+2\times2A_{T} & \Leftrightarrow\\
& 4r^{2}\left(\alpha+\beta+\gamma\right) & = & 4\pi r^{2}+4A_{T} & \Leftrightarrow\\
& r^{2}\left(\alpha+\beta+\gamma\right)-\pi r^{2} & = & A_{T} & \Leftrightarrow\\
& A_{T} & = & \left(\alpha+\beta+\gamma-\pi\right)r^{2}&.
\end{array}$$

Se as amplitudes α, β e γ forem dadas em graus, temos a fórmula $$A_{T}=\left(\alpha+\beta+\gamma-180\right)\frac{\pi}{180}r^{2}\ .$$

2. Considere-se um triângulo esférico T que contém uma semi-esfera. Os seus lados e vértices definem outro triângulo com área menor que denominamos de triângulo complementar, Tc , do triângulo T. A área do triângulo esférico T pode ser calculada através da diferença entre a área da esfera e a área de Tc. Como Tc está contido numa semi-esfera, podemos usar a fórmula obtida no ponto anterior para calcular a área de Tc.

Sejam α, β e γ as amplitudes em radianos dos ângulos internos do triângulo T e a, b e c as amplitudes em radianos dos ângulos internos do triângulo Tc.

Sabe-se que:

  • a área da esfera de raio r é igual a 4πr2;
 
  • a área de Tc é dada por:
 $$A_{T_{c}}=\left(a+b+c-\pi\right)r^{2}\ ;$$
  • α = 2π - a, β = 2π - b e γ = 2π - c.
  

Assim, a área de T é dada por: $$\begin{array}{lrlll}
& A_{T} & = & 4\pi r^{2}-A_{T_{c}} & \Leftrightarrow\\
& & = & 4\pi r^{2}-\left(a+b+c-\pi\right)r^{2} & \Leftrightarrow\\
& & = & \left(5\pi-a-b-c\right)r^{2} & \Leftrightarrow\\
& & = & \left(2\pi-a+2\pi-b+2\pi-c-\pi\right)r^{2} & \Leftrightarrow\\
& & = & \left(\alpha+\beta+\gamma-\pi\right)r^{2} & .
\end{array}$$

Se as amplitudes α, β e γ forem dadas em graus, temos $$A_{T}=\left(\alpha+\beta+\gamma-180\right)\frac{\pi}{180}r^{2}\ .$$
 

Portanto, a área de um triângulo esférico é directamente proporcional ao seu excesso angular.

Este resultado é conhecido como o Teorema de Girard, por ter sido publicado pela primeira vez, em 1629, num trabalho do matemático flamengo Albert Girard (1595-1632). Contudo, há indícios de que uma regra muito semelhante tenha sido encontrada, em 1603, pelo matemático e astrónomo inglês Thomas Harriot (1560-1621). A prova apresentada acima é baseada numa prova do famoso matemático Leonhard Euler (1707-1783), que demonstrou este resultado de uma forma mais simples que Girard. (Rosenfeld, 1976 [5])