PI é normal ? Um problema em aberto ...

Diz-se que um número irracional é normal numa certa base se um qualquer padrão finito ocorre com uma frequência esperada, qualquer que seja a expansão de algarismos nessa base. 

Isto significa que deverá ser tão fácil (ou difícil, tudo dependendo do número de algarismos decimais que considerarmos para p) encontrar a sequência 00000000, como a sequência 87654321 ou ainda 12121212, ou qualquer outra com os mesmo comprimento.

Em particular, na base 10 e para uma expansão de n dígitos, qualquer algarismo {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} deverá ocorrer «aproximadamente» n-10 vezes. Qualquer par de algarismos {00,01,...,10,11,...,99} deverá ocorrer «aproximadamente» -n-100 vezes, etc. 

Não se sabe se p é ou não normal. 

No entanto, os algarismos em p são muito uniformemente distribuídos nas expansões decimais actualmente disponíveis, como se pode constatar por leitura directa.

Na tabela seguinte apresentam-se os resultados da distribuição de {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} nos primeiros algarismos de p- 3.
 

 

  1 × 105 1 × 106 6 × 109 5 × 1010 2 × 1011
0 9 999 99 959 599 963 005 5 000 012 647 20 000 030 841
1 10 137 99 758 600 033 260 4 999 986 263 19 999 914 711
2 9 908 100 026 599 999 169 5 000 020 237 20 000 136 978
3 10 025 100 229 600 000 243 4 999 914 405 20 000 069 393
4 9 971 100 230 599 957 439 5 000 023 598 19 999 921 691
5 10 026 100 359 600 017 176 4 999 991 499 19 999 917 053
6 10 029 99 548 600 016 588 4 999 928 368 19 999 881 515
7 10 025 99 800 600 009 044 5 000 014 860 19 999 967 594
8 9 978 99 985 599 987 038 5 000 117 637 20 000 291 044
9 9 902 100 106 600 017 038 4 999 990 486 19 999 869 180

Com  2 147 483 000 algarismos significativos para o valor de p, um número com 8 dígitos, por exemplo uma data na forma DDMMAAAA, deverá ocorrer cerca de
 

 
21.5× 108C(n) = ---108--- ~~ 22 vezes.

Para um número de telefone, deverá ser
 

 
2.15× 109C(n) = ---109--- ~~ 2.

Para uma sequência de 10 algarismos
 

 
0.215× 1010C(n) = ---1010---- ~~ 0.2,


ou seja, seria conveniente uma expansão 5 vezes maior para termos uma probabilidade razoável de encontrarmos um qualquer número de 10 algarismos. 

O quadro que segue, parece confirmar as nossas suspeitas,
 

 

Sequência Posição da primeira
ocorrência emp- 3
0123456789 17 387 594 880
9876543210 21 981 157 633
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