Atractor de Sierpinski
(Regras)
Há três pontos não colineares,
tendo um disco colorido (azul, verde, vermelho), respectivamente junto
a cada ponto e há um dado de faces coloridas (azul, verde, vermelho),
com faces opostas de igual cor.
Constroi-se uma sucessão (aleatória)
de pontos da maneira seguinte:
-
o primeiro ponto é um dos três anteriores*, eventualmente
tirado à sorte com o dado;
-
obtido um ponto P, constroi-se o seguinte, lançando o dado,
traçando o segmento que une P àquele dos três pontos
iniciais, cujo disco associado tem a cor da face saída no
dado, e escolhendo o ponto médio desse segmento.
No applet seguinte, pode-se ver que ponto viria
a seguir ao ponto P, conforme a cor saída no dado, carregando na
cor correspondente (azul, verde, ou vermelho).
Algumas observações:
-
Se quiser saber em que região estará o novo ponto, se, ao
lançar o dado, sair a cor azul, poderá carregar em Azul
e em Mostrar triângulo azul e, depois, mover o ponto P dentro
do triângulo maior. Verá que o novo ponto nunca sai da região
a azul.
-
Poderá também observar que, se P está no interior
do triângulo grande, o seu seguinte (e, portanto, todos os seus seguintes)
também estão no interior (e não em qualquer dos lados).
-
Para o novo ponto estar num lado do triângulo grande, é necessário
que, no lançamento do dado, tenha saído uma das cores dos
seus extremos e que o ponto P também esteja nesse segmento.
-
Portanto, a única forma de um ponto estar num dos lados do triângulo
grande é que todos os que o antecedem tenham lá estado também,
isto é, sempre tenham saído, nos lançamentos passados
do dado, as cores dos extremos desse lado.
* Se a regra de o ponto inicial ser um dos três
pontos dados fosse suprimida (permitindo-se partir de qualquer ponto
do mesmo plano), tinha-se o resultado interessante de que a figura obtida
seria ainda semelhante à anterior, desde que se tivesse o cuidado
de suprimir a marcação dos primeiros pontos obtidos. É
esta propriedade - de haver um conjunto que «atrai» todas as
sucessões aleatórias obtidas pelo processo descrito - que
está na base da designação de atractor de Sierpinski.
Mais
precisamente, o atractor de Sierpinski é o que os matemáticos
chamam a aderência de qualquer das sucessões acima
descritas e coincide (isto é um resultado!) com o chamado triângulo
de Sierpinski, formado pelo grande triângulo inicial, ao qual se
retira o interior do triângulo «médio», e todos
os interiores de todos os triângulos mais pequenos que vão
ficando...