Figuras que tremem (*) Reformatar


Introdução

Quem já observou com atenção os guindastes que são usados nas obras, reparou por certo que os rectângulos usados nas suas hastes compridas estão cheios de triângulos (ver figura 11), cuja função é contribuir para a rigidez da estrutura e impedir que ela se deforme intensamente ao levantar objectos pesados. Veremos neste texto como introduzir matematicamente as noções de estruturas rígida e trémula, começando por tratar a questão no plano para polígonos.

Dados um semiplano \(S\) com bordo horizontal \(r\) e um segmento \([AB]\) em \(r\), comecemos por construir em \(S\), para cada \(n>2\), um polígono com \(n\) lados, todos com o mesmo comprimento, tendo o segmento \([AB]\) como um dos lados (figura 1), e por ver, para cada valor de \(n\), qual é o número de soluções deste problema.

Figura 1

Para \(n=3\), só há um triângulo que satisfaz as condições do problema; mas, para cada \(n>3\), há uma infinidade de soluções. Por exemplo, para \(n=4\), todos os losangos em \(S\) com lado \([AB]\) satisfazem essas condições; e são as únicas soluções, que em particular são pois todas convexas, pelo menos se na definição de polígono estiverem excluídos os casos degenerados. Se se aceitar que num polígono pode haver sobreposição de lados e que o polígono pode ter área nula, então haverá soluções não convexas para \(n=4\), como nos dois últimos exemplos da figura 2. Já para \(n\geq5\), há também soluções não degeneradas que não são convexas (ver Figura 3).

Figura 2

Mais geralmente, se for fixado um lado num triângulo qualquer, então não podemos mover o vértice oposto, sem alterarmos o comprimento de pelo menos um dos dois lados adjacentes ao fixado. Já a situação é diferente para um quadrilátero qualquer não degenerado ou um polígono não degenerado com maior número de lados, que são sempre deformáveis1 em polígonos com formas diferentes, mantendo-se constantes os comprimentos de todos os lados durante a deformação.

Figura 3

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1 Dado um polígono \(F\) no plano \(P\), designando por \(V\) o conjunto dos vértices de \(F\) e \(A\) o das arestas, definimos deformação de \(F\) em \(P\) como uma função contínua \(f\) de \(V\times\left[0,1\right]\rightarrow P\), tal que, para todo o vértice \(R\) em \(V\), \(f(R,0)=R\). Para cada \(t\), pondo \(f_{t}(R)=f(R,t)\), \(V_{t}=f_{t}(V)\) e, para cada aresta \(a=[R,S]\) de \(F\), \(a_{t}=\left[R_{t},S_{t}\right]\), \(A_{t}\) designa o conjunto dos segmentos \(a_{t}\), para \(a\) em \(A\). O polígono \(F_{t}\) é definido como o polígono com vértices \(V_{t}\) e arestas \(A_{t}\). Dependendo do contexto, pode-se exigir que, para cada \(t\in\left[0,1\right]\), a função \(f_{t}:X\rightarrow f(X,t)\), satisfaça condições suplementares, como por exemplo que seja de classe \(C^{1}\) e injectiva. Suporemos ainda que para cada vértice \(R\) tal que a função \(t\rightarrow f(R,t)\) não seja constante, ela tem derivada não nula em \(t=0\). Ver aqui *** exemplos interactivos de deformações de polígonos. Uma deformação diz-se trivial se, para cada \(x\) em \(V\), a função \(t\rightarrow f_{t}(X)\) for constante.
Este trabalho integra componentes interactivas em formato CDF preparadas com o programa Mathematica. Para a utilização desses ficheiros, deverá importá-los para o seu computador e aceder-lhes com o CDF Player, que pode ser importado sem encargos a partir de http://wolfram.com/cdf-player

Este texto é uma versão ligeiramente modificada do seguinte artigo publicado pelo Atractor na Gazeta de Matemática

(*) Nível de dificuldade: Superior