ATRACTOR

Simetria é um tema que tem sido usado amplamente pelo Atractor e que se presta a tratamentos informais acessíveis ao grande público. Mas, quando se pretende definir com precisão alguns dos conceitos envolvidos, há questões inesperadamente delicadas que surgem e é sobre algumas delas que nos vamos ocupar neste texto.

Na figura seguinte estão representadas quatro imagens, todas com algum tipo de regularidade relativamente a certas transformações do plano; para exprimir essa regularidade, começamos por introduzir a seguinte terminologia: diremos que uma imagem é invariante por uma transformação (injectiva) do plano se essa transformação enviar essa imagem exactamente sobre ela própria, mantendo inalterado o seu aspecto inicial. Uma tal transformação será designada neste texto por simetria (a definição final, mais exigente, será dada mais adiante).

Começando pela primeira linha da figura anterior:

1. na primeira imagem, a diagonal descendente do quadrado divide-o como um espelho, cada metade sendo a reflectida da outra; a reflexão correspondente é uma simetria;
2. na segunda, a meia-volta não altera o aspecto da imagem: é uma simetria;

Cada uma das outras duas imagens representa um friso (ilimitado) obtido por translações horizontais de parte do que está visível:

1. em ambas, há translações horizontais que enviam cada "circunferência"/"pegada" numa seguinte e conservam o aspecto global da imagem (ilimitada); e cada tal translação é uma simetria dessa imagem (ilimitada);
2. na segunda, há ainda uma reflexão numa recta horizontal, seguida de uma pequena translação, e essa transformação composta também é uma simetria da imagem.

Em todos estes casos, há entre as simetrias da figura uma que gera todas as outras, isto é, tal que todas as outras se obtêm dela ou da inversa por composições iteradas.

Consideremos, agora, a figura:

A figura anterior tem:

1. na primeira linha, dois exemplos, cada um tendo como simetrias rotações centradas num mesmo ponto: 5 na primeira e 12 na segunda (contando com a de 0°);
2. na segunda linha, dois exemplos, cada um tendo como simetrias reflexões em eixos passando por um mesmo ponto: 4 na primeira e 5 na segunda e ainda, em cada caso, tendo como simetrias as rotações obtidas por composição dessas reflexões (também 4 e 5).

Nos exemplos analisados, encontrámos quatro tipos de simetrias: reflexões, rotações, translações e reflexões seguidas de pequenas translações com a direcção do eixo de reflexão, ditas reflexões deslizantes. Há uma propriedade comum a todas estas transformações do plano: conservam distâncias, i.e., se os pontos \(A\) e \(B\) são transformados em \(A'\) e \(B'\), a distância de \(A\) a \(B\) é igual à de \(A'\) a \(B'\). São isometrias.

Página seguinte