ATRACTOR

1º Exemplo

Consideremos três páginas \(A\), \(B\) e \(C\) tais que existe apenas uma ligação da página \(A\) para a página \(B\) e uma ligação da página \(B\) para a página \(C\). Aplicando a fórmula do PageRank com \(p=0,85\), temos

Neste caso, obtivemos facilmente os valores exactos do PageRank de cada página.

Notemos que \(PR\left(A\right)<PR\left(B\right)<PR\left(C\right)\).

2º Exemplo

Consideremos três páginas \(A\), \(B\) e \(C\) tais que existe apenas uma ligação da página \(A\) para a página \(B\), uma ligação da página \(B\) para a página \(C\) e uma ligação da página \(C\) para a página \(A\). Aplicando a fórmula do PageRank com \(p =0,85\), temos

Neste caso, não é possível obter de imediato os valores exactos do PageRank de cada página. Teremos de resolver o sistema formado pelas equações dadas acima cujas incógnitas são \(PR\left(A\right), PR\left(B\right)\) e \(PR\left(C\right)\), que tem como solução \[PR\left(A\right)=PR\left(B\right)=PR\left(C\right)=1\]

Como seria de esperar, todas as páginas têm o mesmo PageRank. Para ver outros exemplos, pode experimentar esta app, na qual é possível seleccionar até um máximo de \(6\) páginas (\(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\) e \(F\)) e interligá-las do modo que desejar.

De um modo geral, para calcularmos os valores do PageRank de um conjunto de \(n\) páginas ligadas entre si teremos que resolver um sistema de \(n\) equações (as equações do PageRank de cada uma das páginas) com \(n\) incógnitas (o valor do PageRank de cada uma das páginas). Se o valor de \(n\) for pequeno, não há problema. No entanto, a base de dados do Google é formada por vários milhões de páginas, o que torna pouco prático o cálculo do valor exacto do PageRank. Neste caso, o que se faz é um cálculo iterativo de valores aproximados do PageRank, sendo estes valores tanto mais próximos dos valores exactos quanto maior for o número de iterações.

Assim, considerando as três páginas \(A\), \(B\) e \(C\) do segundo exemplo dado, vamos atribuir um PageRank inicial igual a \(1\) a cada uma delas. Aplicando a fórmula do PageRank, temos

Ou seja, obtivemos o mesmo valor (\(1\)) de PageRank. Tal aconteceu porque, como vimos, este é o valor exacto do PageRank de cada página.

E se tivéssemos atribuído outro PageRank inicial a cada página? Por exemplo, tomando um valor inicial de \(0,5\) e aplicando a fórmula do PageRank, vem

Aplicando novamente a mesma fórmula, mas utilizando os valores obtidos acima, vem

e assim sucessivamente. Após \(10\) iterações, temos

e, após \(67\) iterações, temos

Ou seja, os valores de PageRank calculados aproximam-se cada vez mais do valor exacto. De facto, tal acontece sempre, independentemente do valor de PageRank atribuído inicialmente a cada página (neste exemplo, com um valor inicial de \(1000\) para cada página, em apenas \(100\) iterações obteríamos um valor de aproximadamente \(1,00044\) para cada página), e isto é verdade não só neste exemplo, como também para qualquer conjunto de páginas ligadas entre si. Por que será?

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