De "As Formas e os Números"

 

Os Números Triangulares

Comecemos por recolher uma colecção de bolas do mesmo tamanho. Convém que não sejam muito grandes e, se forem bonitas, tanto melhor.

Uma boa escolha é o conjunto das 15 bolas coloridas de "snooker", até porque já trazem um caixilho triangular de madeira. Não é por acaso que as bolas coloridas encaixam perfeitamente num triângulo equilátero com 5 bolas em cada lado.
Acontece que quinze é o Número Triangular de ordem cinco, ou T(5)=15.

Procuremos os primeiros Números Triangulares

T(1) = 1

T(2) = 3

T(3) = 6

Se as bolas começarem a rolar, podemos arranjar duas ripas formando um ângulo de 60º, na forma de um funil. Agora basta ir colocando camadas de bolas no funil:

T(1) = 1
T(2) = T(1) + 2 = 3
T(3) = T(2) + 3 = 6
T(4) = T(3) + 4 = 10

...

Fórmula Recursiva:
T(1) = 1
T(n+1) = T(n) + (n+1)

 

As fórmulas recursivas têm a sua importância, mas talvez seja melhor procurar uma relação iterativa. Coloquemos agora as ripas num ângulo de 45º:

T(1) = 1
T(2) = 1 + 2 = 3
T(3) = 1 + 2 + 3 = 6
T(4) = 1 + 2 + 3 + 4 = 10

...

Fórmula Iterativa:
T(n) = 1 + 2 + 3 + ... + n

 

Diz a lenda que Gauss, quando miúdo de escola, era bastante irrequieto. Um dia o professor decidiu pô-lo a calcular: 1 + 2 + 3 + ... + 100, na esperança de o manter sossegado por algum tempo. Não resultou, pois o miúdo rapidamente calculou: 50 * 101 = 5050.
Carl Friedrich Gauss (1777-1855)

 

Não negando o devido valor a tal prodígio infantil, convém recordar que este é um dos mais antigos resultados conhecidos da Matemática. Os antigos gregos já o conheciam tendo-o demonstrado, como era seu gosto, por via geométrica.

 

Teorema T1 (Pitágoras, sec. VI A.C.):   2 * T(n) = n * (n+1)

Um Exemplo:

2 * T(4) =
2 * (1+2+3+4) = 4 * 5

 Uma Demonstração: 

    n + 1     = n+1
(n-1) + 2     = n+1
(n-2) + 3     = n+1
     ...
    2 + (n-1) = n+1
    1 + n     = n+1
_____________
  n * (n+1)

 

Assim obtemos uma Fórmula Fechada para o cálculo do Número Triangular de ordem n:
  T(n) = n (n+1) / 2

e provamos também aquela que ficou conhecida como "Fórmula do menino Gauss":
  1 + 2 + 3 + ... + n = n (n+1) / 2.

 

Teorema T2 (Nicómacus, sec. I):   T(n) + T(n+1) = (n+1)2

Um Exemplo:

T(4) + T(5) =
(1+2+3+4) + (1+2+3+4+5) =
5 * 5

 Uma Demonstração: 

    n + 1     = n+1
(n-1) + 2     = n+1
(n-2) + 3     = n+1
     ...
    2 + (n-1) = n+1
    1 + n     = n+1
    0 + (n+1) = n+1
_____________
(n+1) * (n+1) = (n+1)2

 

Exercícios:

3 T(n) + T(n-1) = T(2n)
3 T(n) + T(n+1) = T(2n+1)
9 T(n-1) + 3n = T(3n-1)

 

 

Uma Aplicação dos Números Triangulares

Imaginemos uma situação em que n pessoas se encontram. Para que todos se cumprimentem mutuamente, quantos apertos de mão deverão ser efectuados? 

O 1º cumprimenta (n-1)
  2º             (n-2)
 ...              ...
(n-1)º             1
  nº               0
_______________________
Total de apertos de mão = T(n-1)
Se essas n pessoas decidirem organizar um campeonato de snooker, precisarão naturalmente de travar T(n-1) partidas.

 

por Rosália Rodrigues e Emília Miranda

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