ATRACTOR

Uma vez conhecidas as médias aritmética, geométrica e harmónica de uma amostra qualquer de \(n\) números reais positivos, podemos criar conceitos novos combinando-as. O que nos revelam essas médias híbridas?

Face à impossibilidade de medir com exactidão qualquer quantidade física, uma vez que as nossas observações da realidade estão sujeitas a erros por muito cuidadosos que sejamos, resta-nos compensar esta imperfeição efectuando várias medições e determinando o valor mais provável. De acordo com Gauss, esse valor é o da média aritmética dos resultados obtidos nas sucessivas medições. Todavia, há problemas em que a média apropriada é a geométrica ou a harmónica. Por exemplo, se um comboio viaja durante um intervalo de tempo \(T\) a uma velocidade constante \(v_1\), e depois o mesmo período de tempo a uma velocidade constante \(v_2\), então a velocidade média \(v_m\) nesse percurso verifica a igualdade \[v_m=\frac{v_1 \times T + v_2 \times T}{2T}\] e, portanto, \(v_m=\frac{v_1 + v_2}{2}\), a média aritmética das duas velocidades parcelares. Contudo, se o comboio percorre uma distância \(D\) a uma velocidade constante \(v_1\) e depois a mesma distância \(D\) a uma velocidade constante \(v_2\), então a velocidade média \(V_m\) do comboio numa viagem que, no tempo total \(T=\frac{D}{v_1} + \frac{D}{v_2}\) percorre a distância \(2D\), verifica \(2D=V_m \times T\), e daqui concluímos que \(V_m=\frac{2}{\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}}\), a média harmónica das velocidades \(v_1\) e \(v_2\).

Dados \(n\) números positivos \(x_1, x_2, \cdots, x_n\), a média aritmética \[A=\frac{x_1+x_2 + \cdots + x_n}{n},\] a média geométrica \[G=\sqrt[n]{x_1 \,x_2\, \cdots\, x_n}\] e a média harmónica \[H=\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots + \frac{1}{x_n}}\] verificam \[\begin{equation}\label{eq:AGM} A \geq G \geq H \end{equation} \;\;\; \;\;\; \;\;\; (1)\] dando-se a igualdade se e só se \(x_1=x_2=\cdots=x_n\). Com esta propriedade prova-se facilmente que, entre todos os rectângulos no plano com igual perímetro, o quadrado é o que engloba maior área; ou que a sucessão \[\Big(\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\Big)_{n \,\in\, \mathbb{N}}\] converge.

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(*) Nível de dificuldade: Superior