ATRACTOR

Diz-se que um número irracional é normal numa certa base se um qualquer padrão finito ocorre com uma frequência esperada, qualquer que seja a expansão de algarismos nessa base.

Isto significa que deverá ser tão fácil (ou difícil, tudo dependendo do número de algarismos decimais que considerarmos para \(\pi\)) encontrar a sequência \(00000000\), como a sequência \(87654321\) ou ainda \(12121212\), ou qualquer outra com os mesmo comprimento.

Em particular, na base \(10\) e para uma expansão de \(n\) dígitos, qualquer algarismo \(\left\{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\right\} \) deverá ocorrer "aproximadamente" \(\frac{n}{10}\) vezes. Qualquer par de algarismos \(\left\{ 00,01,...,10,11,...,99\right\} \) deverá ocorrer "aproximadamente" \(\frac{n}{100}\) vezes, etc.

Não se sabe se \(\pi\) é ou não normal.

No entanto, os algarismos em \(\pi\) são muito uniformemente distribuídos nas expansões decimais actualmente disponíveis, como se pode constatar por leitura directa.

Na tabela seguinte apresentam-se os resultados da distribuição de \(\left\{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\right\} \) nos primeiros algarismos de \(\pi-3\).

	\(1\times10^{5}\)	\(1\times10^{6}\)	\(6\times10^{9}\)	\(5\times10^{10}\)	\(2\times10^{11}\)
\(0\)	\(9\, 999\)	\(99\, 959\)	\(599\, 963\, 005\)	\(5\, 000\, 012\, 647\)	\(20\, 000\, 030\, 841\)
\(1\)	\(10\, 137\)	\(99\, 758\)	\(600\, 033\, 260\)	\(4\, 999\, 986\, 263\)	\(19\, 999\, 914\, 711\)
\(2\)	\(9\, 908\)	\(100\, 026\)	\(599\, 999\, 169\)	\(5\, 000\, 020\, 237\)	\(20\, 000\, 136\, 978\)
\(3\)	\(10\, 025\)	\(100\, 229\)	\(600\, 000\, 243\)	\(4\, 999\, 914\, 405\)	\(20\, 000 \,069\, 393\)
\(4\)	\(9\, 971\)	\(100\, 230\)	\(599\, 957\, 439\)	\(5\, 000\, 023\, 598\)	\(19\, 999\, 921\, 691\)
\(5\)	\(10\, 026\)	\(100\, 359\)	\(600\, 017\, 176\)	\(4\, 999\, 991\, 499\)	\(19\, 999\, 917\, 053\)
\(6\)	\(10\, 029\)	\(99\, 548\)	\(600\, 016\, 588\)	\(4\, 999\, 928\, 368\)	\(19 \,999\, 881\, 515\)
\(7\)	\(10\, 025\)	\(99\, 800\)	\(600\, 009\, 044\)	\(5\, 000\, 014\, 860\)	\(19\, 999\, 967\, 594\)
\(8\)	\(9\, 978\)	\(99\, 985\)	\(599\, 987\, 038\)	\(5 \,000 \,117 \,637\)	\(20 \,000 \,291 \,044\)
\(9\)	\(9 \,902\)	\(100 \,106\)	\(600 \,017 \,038\)	\(4 \,999 \,990 \,486\)	\(19 \,999 \,869 \,180\)

Com \(2 \,147 \,483 \,000\) algarismos significativos para o valor de \(\pi\), um número com \(8\) dígitos, por exemplo uma data na forma \(DDMMAAAA\), deverá ocorrer cerca de \[C(n)=\frac{21.5\times10^{8}}{10^{8}}\approx22\mbox{ vezes.}\]

Para um número de telefone, deverá ser \[C(n)=\frac{2.15\times10^{9}}{10^{9}}\approx2,\]

Para uma sequência de \(10\) algarismos \[C(n)=\frac{0.215\times10^{10}}{10^{10}}\approx0.2,\]ou seja, seria conveniente uma expansão \(5\) vezes maior para termos uma probabilidade razoável de encontrarmos um qualquer número de \(10\) algarismos.

O quadro que segue, parece confirmar as nossas suspeitas

Sequência	Posição da primeira ocorrência em \(\pi-3\)
\(0123456789\)	\(17 \,387 \,594 \,880\)
\(9876543210\)	\(21 \,981 \,157 \,633\)

Para testar interactivamente este comportamento, siga para esta página.

A normalidade da representação \(\pi\) na base 27 é abordada nesta página.