Redes Minimais - O Problema de Steiner Reformatar


Problema de Steiner

Este problema foi denominado problema de Steiner, pela primeira vez, em 1941, no popular livro What is mathematics?, de R. Courant e H. Robbins.

No entanto, já muito antes de Steiner, outros matemáticos como Fermat (1601 - 1665), Torricelli, Cavalieri e Simpson se tinham debruçado sobre as primeiras variantes deste problema.

Tudo começou com um simples problema proposto por Fermat:

"Encontrar um ponto no plano cuja soma das distâncias a três pontos dados \(A\), \(B\) e \(C\) seja mínima."

Torricelli encontrou uma solução para este problema nos casos em que os ângulos internos do triângulo formado pelos três pontos dados \(A\), \(B\) e \(C\) são todos menores ou iguais a 120º.

MÉTODO DE TORRICELLI:

Nos três lados do triângulo \([ABC]\) construir três triângulos equiláteros do lado de fora de \([ABC]\).
Desenhar as circunferências que circunscrevem cada um destes três triângulos.
O ponto de intersecção destas três circunferências é o denominado ponto de Torricelli e resolve o problema de Fermat.

Nos casos em que um dos ângulos internos do triângulo \([ABC]\), por exemplo, o ângulo correspondente ao vértice \(A\), é maior ou igual a 120º, a solução do problema de Fermat é única e coincide com o ponto \(A\). (Note-se que nestes casos o ponto de Torricelli está no exterior do triângulo \([ABC]\) e portanto não pode ser solução para o problema de Fermat.)

Cavalieri encontrou uma propriedade importante do ponto de Torricelli, publicada no seu livro Exercitationes Geometricae de 1647:

Quando o ponto de Torricelli está dentro do triângulo, os ângulos entre os segmentos que ligam o ponto de Torricelli aos vértices \(A\), \(B\) e \(C\) são todos iguais a 120º.

Mais tarde, Simpson encontrou outro modo de construir o ponto de Torricelli e publicou-o no seu livro Doctrine and Application of Fluctions de 1750.

MÉTODO DE SIMPSON:

Nos três lados do triângulo \([ABC]\) construir três triângulos equiláteros do lado de fora de \([ABC]\).
Desenhar os três segmentos de recta que unem cada vértice do triângulo \([ABC]\) ao vértice oposto do triângulo equilátero construído no lado oposto. Estes segmentos de recta são chamados segmentos de Simpson.
Os três segmentos de Simpson intersectam-se num ponto que coincide com o ponto de Torricelli e que resolve o problema de Fermat.

Também este método só resolve o problema de Fermat quando os três ângulos internos do triângulo \([ABC]\) são menores ou iguais a 120º.

Mais uma propriedade importante, referida por Heinen em 1834, é a seguinte:

Os comprimentos dos segmentos de Simpson são todos iguais à soma das distâncias do ponto de Torricelli aos vértices \(A\), \(B\) e \(C\).

Steiner foi atraído para este problema ao tentar resolver um exercício de generalização do problema de Fermat, proposto por Simpson no seu livro Fluxions:

"Encontrar um ponto no plano (ou no espaço Euclidiano d-dimensional) cuja soma das distâncias a \(n\) pontos dados \(A1, ... , An\) seja mínima."

Uma outra variante deste problema é a proposta por Jarnik e Kössler em 1934:

"Encontrar a mais curta rede que liga \(n\) pontos do plano."

Pode encontrar, nesta secção, páginas com sketches relativos a este problema.