Isometrias no plano

Exemplos de isometrias no plano são: translações, rotações, reflexões numa recta e reflexões deslizantes. Prova-se que não há mais tipos de isometrias do plano, além destes. O applet seguinte apresenta com algum detalhe as ideias geométricas que conduzem aos seguintes resultados, relativos ao plano (a hipótese é comum às diferentes alíneas):

Dados dois pontos distintos quaisquer A, B e dois pontos A', B', tais que dist(A',B') = dist(A,B),
1. (unicidade)
i. - há no máximo uma isometria que envia A em A', B em B' e conserva a orientação;
ii. - há no máximo uma isometria que envia A em A', B em B' e troca a orientação.
2. há uma rotação ou uma translação que envia A em A' e B em B'.
3. há uma reflexão deslizante (sentido lato) que envia A em A' e B em B'.
4. há exactamente duas isometrias que enviam A em A' e B em B': uma que conserva a orientação e é necessariamente uma rotação ou uma translação e outra que troca a orientação e é necessariamente uma reflexão deslizante.

Note que a 4ª afirmação é mais forte que qualquer das anteriores e na realidade apresenta numa forma condensada as três anteriores.

Este applet foi organizado com a seguinte ideia directriz: permitir ao utilizador manipular os dados e, perante qualquer escolha dos dados iniciais definidores da isometria (A, B, A', B' e comportamento quanto à orientação), encontrar efectivamente qual o tipo de isometria e os seus elementos de definição: translação com o vector respectivo, rotação com o centro e ângulo respectivos ou reflexão deslizante com os respectivos eixo e vector de deslizamento.

Atractor, Criado com GeoGebra