ATRACTOR

Disponha de quatro rectângulos de papel. As proporções não são importantes: pode tomar como dimensões para os lados, aproximadamente 5cm e 30cm. Escolha um dos rectângulos e cole os lados pequenos opostos: obtém um cilindro. Proceda analogamente para o segundo rectângulo, mas "torça" a tira de papel "uma vez" (i.e., meia volta) antes de colar: obtém a chamada Tira de Möbius. Proceda analogamente para os dois outros rectângulos torcendo, respectivamente, duas e três vezes antes de colar. Pode ver animações que sugerem estas construções, apoiando nas figuras correspondentes do quadro seguinte.

Animações

Tenha presente, em particular, que:

1. na primeira coluna, está o número de vezes que se torce, antes de colar;
2. na coluna Animações, as pequenas figuras são apontadores para animações que sugerem o correspondente processo de colagem;
3. na coluna Figuras, as figuras apontam para as figuras finais obtidas, com o respectivo bordo marcado;
4. na coluna Corte central, as pequenas figuras são apontadores para animações que sugerem o corte de cada "tira" longitudinalmente segundo a circunferência central;
5. na coluna Corte descentrado, as pequenas figuras são apontadores para animações que sugerem o corte de cada "tira" longitudinalmente, começado num ponto da tira colocado a uma distância do bordo de 1/3 da largura da tira;
6. na coluna Orientabilidade, é posta em evidência a não-orientabilidade de algumas das superfícies.

Pinte as superfícies obtidas para disfarçar a zona de colagem. Para cada um dos seis pares de modelos obtidos, procure o que há de comum entre eles e o que há de distinto. O ideal será identificar uma propriedade, segundo a qual alguns destes modelos se possam considerar equivalentes e depois procurar identificar o que distingue esses modelos equivalentes.

Encontram-se no quadro anterior apontadores para animações que correspondem a cortar (e afastar) uma tira de Möbius no sentido longitudinal, respectivamente, segundo a circunferência central e segundo uma linha "dividindo" localmente a tira de Möbius em 3 partes de igual "altura". Aconselha-se a que se proceda na seguinte ordem:

1. Tentar imaginar o que se obtém, em cada caso, para \(n=0\) (fácil), \(1\), \(2\), \(3\), ...;
2. Fazer a experiência com papel e tesoura para verificar se o que se conjecturou está certo;
3. Reconstituir com as animações o que se fez com a tesoura.