Cortesia em jogo (*) Reformatar


Introdução

O presente texto gira em torno da pergunta seguinte: num conjunto de dados diferentes, qual é o melhor?

Fig 1

Esta pergunta, que é natural formular, levanta uma questão matematicamente interessante que tem uma resposta algo inesperada. E foram estes dois aspetos que ditaram a escolha, pelo Atractor, de um módulo para a exposição "Matemática Viva"1, que permitia precisamente pôr em evidência um comportamento aparentemente estranho.

Antes de descrevermos esse módulo, tornemos claro o que entendemos por um dado ser melhor do que outro. Os dados normais são cubos e têm, em cada uma das seis faces, um número diferente de pintas, entre um e seis. Nenhum dado é melhor do que o outro, no sentido de que dois jogadores, cada um com um dos dois dados, têm iguais probabilidades de ganhar, podendo ainda empatar. Se em vez de considerarmos dois dados normais, admitirmos que em cada face de cada um há um número de pintas entre 0 e 6, podendo duas ou mais faces de um mesmo dado ter igual número de pintas, então os dois dados podem ser diferentes entre si e as probabilidades de cada um ganhar não serem as mesmas, além de que a probabilidade de empate pode ser 0. O dado \(A\) é considerado melhor do que o dado \(B\), se a probabilidade de \(A\) ganhar a \(B\) for maior do que a de \(B\) ganhar a \(A\). Por exemplo, se as seis faces de \(A\) tiverem, respectivamente, 1, 1, 1, 3, 3, 3 pintas e as de \(B\) tiverem todas 4 pintas, o jogo nunca empata e a probabilidade de \(A\) ganhar é 0, o que equivale a afirmar que a de \(B\) ganhar é 1. Se os dados forem iguais, as probabilidades de \(A\) e \(B\) ganharem são as mesmas, mas o seu valor depende da probabilidade de \(A\) e \(B\) empatarem. Por exemplo, se \(A\) e \(B\) forem iguais e além disso todas as faces tiverem o mesmo número de pintas, a probabilidade de empate é 1 e, portanto, a probabilidade de cada um ganhar é 0. O leitor poderá verificar que esta situação extrema só acontece nas condições descritas, também elas extremas.

1A exposição Matemática Viva, que esteve patente no Pavilhão do Conhecimento, em Lisboa, entre Novembro de 2000 e Agosto de 2010, foi concebida e criada pelo Atractor.
Traduzido para inglês por uma equipa do CMUC, a partir da versão original portuguesa. O Atractor agradece a sua colaboração.
Este trabalho integra componentes interactivas em formato CDF preparadas com o programa Mathematica. Para a utilização desses ficheiros, deverá importá-los para o seu computador e aceder-lhes com o CDF Player, que pode ser importado sem encargos a partir de http://wolfram.com/cdf-player

Este texto é uma versão ligeiramente modificada do seguinte artigo publicado pelo Atractor na Gazeta de Matemática

(*) Nível de dificuldade: Secundário, Superior