Introdução

Verificaremos como a propriedade de os três lados de um triângulo plano serem iguais resulta de uma combinação harmoniosa, e única, de lados e ângulos.

Um triângulo diz-se equilátero se os quocientes entre os comprimentos dos seus lados são iguais a \(1\). Que triângulos do plano têm estes três quocientes racionais? Dado um triângulo no plano com lados de comprimentos \(a,\) \(b,\) \(c\) tais que existem números naturais \(p_{1},\) \(p_{2},\) \(p_{3},\) \(q_{1},\) \(q_{2},\) \(q_{3},\) que verificam \[\frac{a}{b}=\frac{p_1}{q_1}, \quad \frac{b}{c}=\frac{p_2}{q_2} \quad \text{e} \quad \frac{a}{c}=\frac{p_3}{q_3}\] podemos reescalonar o triângulo e obter outro semelhante com lados racionais. Para isso, basta usar a homotetia \[H_1:(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mapsto \left(\frac{x}{c}, \frac{y}{c}\right)\] que transforma o triângulo inicial num de lados \[a^\prime =\frac{p_1\,p_2}{q_1\,q_2}, \quad b^\prime=\frac{p_2}{q_2}, \quad \text{ e } \quad c^\prime=1.\]
Se, de seguida, aplicarmos uma nova homotetia
\[H_2:(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mapsto (q_1\,q_2\,x,\,\, q_1\,q_2\,\,y)\] obtemos um triângulo de lados inteiros. Esta conclusão faz-nos suspeitar que, sem dados adicionais sobre os ângulos do triângulo, dificilmente conseguiremos mais informação sobre ele. Avancemos, por isso, com alguma hipótese sobre os ângulos.


Traduzido para inglês por uma equipa do CMUC, a partir da versão original portuguesa. O Atractor agradece a sua colaboração.

(*) Nível de dificuldade: Superior