ATRACTOR

A tabela anterior parece indicar que, dada uma base \(\require{cancel} \beta,\) o número total de fracções canceláveis nessa base (não contando com as correspondentes recíprocas) é par¹, a menos que \(\beta\) seja um quadrado perfeito par (tal número é \(1\) se \(\beta=4;\) é \(7\) se \(\beta = 16;\) é \(21\) se \(\beta = 36;\) é \(21\) se \(\beta=64;\) e é \(37\) se \(\beta = 100\)). A razão desta propriedade está no facto de, em geral, as fracções canceláveis ocorrerem aos pares. Mais precisamente, se a fracção \[\frac{\cancel{c} \,\,\, c-t}{b \,\,\, \cancel{c}}\] é cancelável na base \(\beta,\) então a fracção \[\frac{\cancel{c} \,\,\, c-b}{t \,\,\, \cancel{c}}\] também o é. Efectivamente, a equação que descreve que o cancelamento é válido na primeira fracção \[ (\beta c + c-t)b = (\beta b + c)(c-t)\] é equivalente a \[(\beta c + c-b)t = (\beta t + c)(c-b),\] que traduz o cancelamento na segunda fracção.

Por exemplo, se \(\beta = 6,\) as duas fracções associadas são \(\frac{54}{25}\) e \(\frac{53}{15},\) correspondentes a \(t = 1\) e \(b = 2\); quando \(\beta = 10,\) os pares são \(\frac{98}{49}, \, \frac{95}{19}\) (com \(t = 1\) e \(b = 4\)) e \(\frac{64}{16},\, \frac{65}{26}\) (com \(t = 2\) e \(b = 1\)).

Observe-se contudo que, se \(\beta = 4,\) a fracção \(\frac{32}{13},\) que corresponde a \(t=1\) e \(b=1,\) é igual ao seu par. E, em geral, as duas fracções canceláveis \(\frac{c \,\,\, c-t}{b \,\,\, c}\) e \(\frac{c \,\,\, c-b}{t \,\,\, c}\) são distintas se e só se \(t\neq b\). Ora, \(t=b\) e a fracção \(\frac{c \,\,\, c-t}{b \,\,\, c}\) é cancelável e e só se \[(\beta c + c-b)b=(\beta b + c)(c-b)\] ou seja, \(\beta b^2 = (c-b)^2,\) e portanto \(b\) divide \(c-b\) (logo divide \(c\) ) e \(\beta\) é o quadrado \((\frac{c-b}{b})^2\).

Por exemplo, se \(\beta = 4,\) a fracção \(\frac{32}{13},\) que corresponde a \(t=1=b,\) é cancelável, é a única cancelável nesta base (não contando com a fracção recíproca e as triviais) e tem-se \((\frac{c-b}{b})^2=(\frac{2}{1})^2=\beta\). Porém, se \(\beta = 9,\) que é um quadrado ímpar, a fracção \(\frac{86}{28},\) que se obtém pelo procedimento anterior para \(t=1=b\) (logo \(\frac{86}{28}\) coincide com o seu par), tem os algarismos todos pares e, portanto, \(\frac{43}{14}\) também é fracção cancelável na base \(9\).

É imediato verificar que, se \(\beta\) é um quadrado, para cada natural \(k \in \{1, \ldots, \sqrt{\beta} - 1\},\) as fracções \[\frac{\cancel{k(\sqrt{\beta} + 1)} \,\,\,\,\, k\sqrt{\beta}}{k \,\,\,\,\,\cancel{k(\sqrt{\beta} + 1)}}\] são canceláveis na base \(\beta\) e todas elas são da forma \(\frac{c \,\,\, c-t}{b \,\,\, c}\) com \(t=k=b,\) logo sem fracção distinta que emparelhe com ela. Por exemplo, quando \(\beta = 9,\) esta lista de fracções é a seguinte \[\frac{4 3}{1 4}, \quad \frac{8 6}{2 8}.\] Analogamente, se \(\beta = 25,\) este processo produz as fracções \[\frac{6 5}{1 5}, \quad \frac{12 \,\,10}{2 \,\,10}, \quad \frac{18 \,\,15}{3 \,\,18}, \quad \frac{24 \,\,20}{4 \,\,24}\] e nenhuma delas tem uma fracção par.

Em geral, se \(\beta\) é um quadrado², então o procedimento anterior produz \(\sqrt{\beta} -1\) fracções não emparelháveis e, quando \(\beta\) é um quadrado par, \(\sqrt{\beta} -1\) é ímpar. Isso justifica que, neste caso, o valor total de fracções não triviais canceláveis seja ímpar.