ATRACTOR

Agora que sabemos que as curvas-solução são periódicas (digamos de período \(T\)) podemos determinar os valores médios (durante um período) de \(x\) e de \(y\). Por analogia à definição de média aritmética de uma amostra finita de números reais, e tendo em conta que \(x\) e \(y\) são variáveis contínuas, estes valores médios são calculados pelas expressões \[\begin{array}{ccc} \bar{x}=\frac{\intop_{0}^{T}x(t)dt}{T} & & \bar{y}=\frac{\intop_{0}^{T}y(t)dt}{T}\end{array}\] onde a soma do conceito de média aritmética é aqui substituída pelo integral. Recorde-se, contudo, que não conhecemos \(x(t)\) e \(y(t)\) explicitamente. Mas, como concluímos anteriormente, \[x'=Ax-Bxy=(A-By)x\Longleftrightarrow\frac{1}{x}x'=A-By\]e a integração de \(x^{'}\) entre \(0\) e \(T\) conduz a \[\ln x(T)-\ln x(0)=\intop_{0}^{T}A-By(t)dt\]Como \(x\) é periódica de período \(T,\) \(x(T)=x(0)\) e, portanto, \(\ln x(T)-\ln x(0)=0;\) logo \[\intop_{0}^{T}A-By(t)dt=0,\] ou seja, \[AT-B\intop_{0}^{T}y(t)dt=0,\] isto é \[\intop_{0}^{T}y(t)dt=\frac{AT}{B}\]

Então \(\bar{y}=\frac{\intop_{0}^{T}y(t)dt}{T}=\frac{A}{B}.\)

De modo análogo se mostra que \(\bar{x}=\frac{C}{D}.\)