Sistemas Presa-Predadores Reformatar


Campo de Vectores

O sistema de equações diferenciais \[\begin{cases} x^{\text{'}}= & Ax-Bxy\\ y^{'}= & -Cy+Dxy \end{cases}\] constrói no plano um campo de vectores \(V=(x^{'},y^{'})\) e, dado um ponto \(Z=(x,y)\) do plano, o vector \(V\) é tangente neste ponto à curva-solução de condição inicial \(Z\): \(V\) indica a direcção, o sentido e a intensidade de variação da curva-solução.

Fixados \(A\), \(B\), \(C\) e \(D\), observe o comportamento dos vectores do campo \(V\) na figura ao lado.

(Clique na figura para variar \(A\), \(B\), \(C\) e \(D\).)

Comecemos por analisar os pontos de equilíbrio do campo de vectores \(\left(x^{'},y^{'}\right)=\left(Ax-Bxy,-Cy+Dxy\right)\). Um ponto de equilíbrio representa uma curva-solução do sistema tal que, ao longo do tempo, não há alteração no número de elementos de cada espécie. As coordenadas dum tal ponto são valores de \(x\) e de \(y\) para os quais o sistema não varia; ora, matematicamente, a ausência de variação corresponde à anulação da derivada: \[\begin{cases} x^{\text{'}}= & Ax-Bxy=0\\ y^{'}= & -Cy+Dxy=0 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} \left(A-By\right)x= & 0\\ \left(-C+Dx\right)y= & 0 \end{cases}\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow\begin{cases} y=\frac{A}{B} & \begin{array}{cc} ou & x=0\end{array}\\ x=\frac{C}{D} & \begin{array}{cc} ou & y=0\end{array} \end{cases}\rightarrow ou\begin{array}{ccc} \left(x,y\right) & = & \left(0,0\right)\\ \left(x,y\right) & = & \left(\frac{C}{D},\frac{A}{B}\right) \end{array}\]

Interpretemos estes dois pontos de equilíbrio. \((0,0)\) significa que não há nem fanecas nem tubarões, e, portanto, os valores destas espécies têm de se manter nulos (pois não têm como nascer). \((\frac{C}{D}, \frac{A}{B})\) é o ponto de equilíbrio que nos interessa, embora, em termos biológicos, improvável.

Dos sinais de \(x^{'}\) e \(y^{'}\) podemos visualizar o campo de vectores \((x^{'},y^{'})\) e, das regiões de monotonia de \(x\) e de \(y\), ter uma ideia qualitativa de como se comportam as curvas-solução. Restringiremos este estudo ao primeiro quadrante, uma vez que os valores biologicamente aceitáveis para \(x\) e \(y\) são não negativos.

As derivadas \(x^{'}\) e \(y^{'}\) anulam-se ao longo das rectas \(y=\frac{A}{B}\) e \(x=\frac{C}{D}\), respectivamente, que dividem o quadrante em quatro regiões onde as derivadas têm sinais diferentes:

I
II
III
IV
\(x^{'}<0 \) e \(y^{'}>0\)
\(x^{'}<0 \) e \(y^{'}<0\)
\(x^{'}>0 \) e \(y^{'}<0\)
\(x^{'}>0 \) e \(y^{'}>0\)


Na região IV tanto os valores de \(x\) como os de \(y\) crescem estritamente com o tempo; na região I, os valores de \(x\) decrescem estritamente, enquanto que a função \(y\) cresce. Uma explicação biológica plausível para esta variação é a de que, com a abundância de fanecas na região IV, a espécie tubarões tem condições óptimas para se reproduzir, atingindo valores tão elevados que, na região I, as fanecas exibem perdas consideráveis.
Explicações análogas podem ser apresentadas para as regiões II e III.

estabilidade