Teorema de Morley 
Demonstração trigonométrica
Em primeiro lugar, vamos deduzir uma fórmula trigonométrica que será bastante útil. Dado um ângulo \(x\) qualquer, temos: \[\begin{array}{lll} \sen x & = & \sen\left(\frac{2x}{3}+\frac{x}{3}\right)\\ & = & \sen\frac{2x}{3}\cos\frac{x}{3}+\sen\frac{x}{3}\cos\frac{2x}{3}\\ & = & \left(2\sen\frac{x}{3}\cos\frac{x}{3}\right)\cos\frac{x}{3}+\sen\frac{x}{3}\left(\cos^{2}\frac{x}{3}-\sen^{2}\frac{x}{3}\right)\\ & = & \sen\frac{x}{3}\left(2\cos^{2}\frac{x}{3}+\cos^{2}\frac{x}{3}-\sen^{2}\frac{x}{3}\right)\\ & = & \sen\frac{x}{3}\left(4\cos^{2}\frac{x}{3}-1\right)\\ & = & \sen\frac{x}{3}\left(4\cdot\frac{1+\cos\frac{2x}{3}}{2}-1\right)\\ & = & \sen\frac{x}{3}\left(2\cos\frac{2x}{3}+1\right)\\ & = & 2\sen\frac{x}{3}\left(\cos\frac{2x}{3}-\cos\frac{2\pi}{3}\right)\\ & = & 2\sen\frac{x}{3}\cdot2\sen\left(\frac{\pi}{3}+\frac{x}{3}\right)\sen\left(\frac{\pi}{3}-\frac{x}{3}\right)\\ & = & 4\sen\frac{x}{3}\sen\frac{\pi+x}{3}\sen\frac{\pi-x}{3}\\ & = & 4\sen\frac{x}{3}\sen\frac{\pi+x}{3}\sen\left(\pi-\frac{\pi-x}{3}\right)\\ & = & 4\sen\frac{x}{3}\sen\frac{x+\pi}{3}\sen\frac{x+2\pi}{3} \end{array}\]
Sejam \(a=C\hat{A}B\), \(b=A\hat{B}C\), \(c=B\hat{C}A\) e \(R\) o circunraio de \([ABC]\). Então, aplicando a lei dos senos ao triângulo \([ABC]\), temos: \[\overline{BC}=2R\sen a = 8R \sen \frac{a}{3} \sen \frac{a+\pi}{3} \sen \frac{a+2\pi}{3}\]
Consideremos agora o triângulo \([DBC]\). As amplitudes dos seus ângulos são dadas por: \[D\hat{B}C=\frac{b}{3},\] \[D\hat{C}B=\frac{c}{3}\] e \[\begin{array}{lll} B\hat{D}C & = & \pi-\frac{b}{3}-\frac{c}{3}\\ & = & \frac{3\pi-b-c}{3}\\ & = & \frac{\left(\pi-b-c\right)+2\pi}{3}\\ & = & \frac{a+2\pi}{3} \end{array}\]
Aplicando a lei dos senos ao triângulo \([DBC]\), temos: \[\begin{array}{lll} \frac{\overline{DC}}{\sen\frac{b}{3}}=\frac{\overline{BC}}{\sen\frac{a+2\pi}{3}}\Rightarrow\overline{DC} & = & \frac{\overline{BC}}{\sen\frac{a+2\pi}{3}}\cdot\sen\frac{b}{3}\\ & = & \frac{8R\sen\frac{a}{3}\sen\frac{a+\pi}{3}\sen\frac{a+2\pi}{3}}{\sen\frac{a+2\pi}{3}}\sen\frac{b}{3}\\ & = & 8R\sen\frac{a}{3}\sen\frac{b}{3}\sen\frac{a+\pi}{3} \end{array}\]
Analogamente, considerando agora o triângulo \([AEC]\), temos: \[\overline{EC}= 8R \sen \frac{a}{3} \sen \frac{b}{3} \sen \frac{b+\pi}{3}\]
Note-se que \[\begin{array}{lll} \frac{a+\pi}{3}+\frac{b+\pi}{3}+\frac{c}{3} & = & \frac{a+\pi+b+\pi+c}{3}\\ & = & \frac{\left(a+b+c\right)+2\pi}{3}\\ & = & \frac{\pi+2\pi}{3}\\ & = & \pi \end{array}\] logo é possível construir um triângulo \([E'D'C']\) com ângulos de amplitude \(\frac {a + \pi}{3}\), \(\frac {b + \pi}{3}\) e \(\frac {c}{3}\). Supondo ainda que o seu circunraio é dado por \(4R \sen \frac{a}{3} \sen \frac{b}{3}\), pela lei dos senos os lados adjacentes ao ângulo de amplitude \(\frac{c}{3}\) terão como medida os mesmos valores obtidos para \(\overline{DC}\) e \(\overline{EC}\).
Este triângulo é congruente com o triângulo \([EDC]\) pelo facto de terem um ângulo igual e os lados adjacentes a esse ângulo iguais, sendo este um dos critérios de congruência de triângulos. Portanto, temos: \[\overline{ED}=\overline{E'D'}=8R\sen \frac{a}{3} \sen \frac{b}{3} \sen \frac{c}{3}\]
