Algoritmo de Euclides 
\(\mathbb{Z}\left[i\sqrt{5}\right]\)
Depois de ver a generalização
do algoritmo da divisão e do algoritmo de Euclides a \(\mathbb{Z}\left[i\right]\)
e a \(\mathbb{Z}\left[\sqrt{2}\right]\),
pode-se pensar em generalizar a outros casos. Por exemplo pode-se fazer
o mesmo em \(\mathbb{Z}\left[\sqrt{3}\right]\)?
\(\mathbb{Z}\left[i\sqrt{2}\right]\)?
A resposta é sim:
em \(\mathbb{Z}\left[\sqrt{3}\right]\)
pode-se definir \(v\left(a+b\sqrt{3}\right)=\left|a^{2}-3b^{2}\right|\),
em \(\mathbb{Z}\left[i\sqrt{2}\right]\)
pode-se definir \(v\left(a+bi\sqrt{2}\right)=a^{2}+2b^{2}\)
e as coisas passam-se de maneira muito parecida. Então pode-se
fazer o mesmo em \(\mathbb{Z}\left[\sqrt{n}\right]\)
e \(\mathbb{Z}\left[i\sqrt{n}\right]\),
para qualquer inteiro positivo \(n\)?
Aqui a reposta é
não; é bastante fácil ver por que é que fazendo
as coisas da mesma maneira elas não
funcionam, mas é menos fácil ter a certeza
que não há nenhuma maneira de as fazer funcionar.
Concretamente, é
fácil ver que uma certa função \(v\)
não dá um algoritmo de divisão, mas é mais difícil
justificar por que é que não existe nenhuma função
\(v\)
que dê um algoritmo de divisão.
Aqui vamos só ver
uma ideia dessa justificação no caso de \(\mathbb{Z}\left[i\sqrt{5}\right]\).
Se houvesse um algoritmo
de divisão em \(\mathbb{Z}\left[i\sqrt{5}\right]\)
,
então também haveria o algoritmo de Euclides para esse algoritmo
de divisão. Mas então quaisquer dois elementos de \(\mathbb{Z}\left[i\sqrt{5}\right]\)
teriam máximo divisor comum (no
sentido de um divisor comum que é múltiplo de todos os
outros).
Mas \(6\)
e \(2+2i\sqrt{5}\)
não têm \(m.d.c.\)
Os divisores
de \(6\)
em \(\mathbb{Z}\left[i\sqrt{5}\right]\) são: \[\begin{array}{c}
1,2,3,6,1+i\sqrt{5},1-i\sqrt{5},\\
-1,-2,-3,-6,-1-i\sqrt{5},-1+i\sqrt{5}
\end{array}.\]
Os divisores
de \(2+2i\sqrt{5}\)
em \(\mathbb{Z}\left[i\sqrt{5}\right]\)
são: \[\begin{array}{c}
1,2,1+i\sqrt{5},2+2i\sqrt{5},\\
-1,-2,-1-i\sqrt{5},-2-2i\sqrt{5}
\end{array}.\]
Então os divisores comuns de \(6\) e \(2+2i\sqrt{5}\) são: \[1,2,1+i\sqrt{5},-1,-2,-1-i\sqrt{5}\] e nenhum deles é múltiplo dos outros (todos).
