ATRACTOR

Nos números inteiros positivos temos uma ordem bem conhecida \[1<2<3<4<5<...\]

Mas há outros maneiras de comparar números inteiros positivos: vamos escrever \(d\trianglelefteq a\) (ou \(a\trianglerighteq d\)) quando \(d\) é divisor de \(a\) (o que é o mesmo que dizer que \(a\) é múltiplo de \(d\), isto é, existe \(b\) tal que \(bd=a\)).

É evidente que se \(d\trianglelefteq a\) então \(d\leq a\) (qualquer número inteiro positivo é maior ou igual do que qualquer dos seus divisores).

A relação \(\trianglelefteq\) tem uma propriedade importante em comum com a ordem do costume:

se \(a\trianglelefteq b\) e \(b\trianglelefteq c\) então \(a\trianglelefteq c\).

Mas há outra propriedade importante da ordem do costume que \(\trianglelefteq \) não tem: para quaisquer \(a\) e \(b\) inteiros positivos tem-se \(a\leq b\) ou \(b\leq a\); no entanto, não se tem para quaisquer \(a\) e \(b\), \(a\trianglelefteq b\) ou \(b\trianglelefteq a\) (por exemplo, não se tem \(2\trianglelefteq 3\) nem \(3\trianglelefteq 2\)).

Podemos usar a mesma linguagem para \(\trianglelefteq \) que usamos para a ordem do costume:

• \(4\) é maior que \(2\) para \(\trianglelefteq \)

• \(3\) não é maior que \(2\) para \(\trianglelefteq \) (embora \(3\) seja maior do que \(2\) para a ordem do costume)

• \(6\) é menor do que \(12\) para \(\trianglelefteq \)

• o máximo do conjunto \(\left\{ 2,4,6,12\right\} \) para \(\trianglelefteq \) é \(12\) (porque \(12\trianglerighteq 2\) e \(12\trianglerighteq 4\) e \(12\trianglerighteq 6\) e \(12\trianglerighteq 12\))

• o mínimo do conjunto \(\left\{ 2,4,6,12\right\} \) para \(\trianglelefteq \) é 2 (porque \(2\trianglelefteq 2\) e \(2\trianglelefteq 4\) e \(2\trianglelefteq 6\) e \(2\trianglelefteq 12\))

• o conjunto \(\left\{ 2,3,6\right\} \) tem máximo para \(\trianglelefteq \) (\(6\)) mas não tem mínimo para \(\trianglelefteq \).

É fácil ver que se um conjunto tem máximo para \(\trianglelefteq \), esse máximo também é máximo para a ordem do costume. O contrário é que pode não ser verdade.

Geralmente usamos uma representação geométrica para a ordem do costume - representamos os números inteiros positivos numa recta, com os menores à esquerda e os maiores à direita: \[1-2-3-4-5-6-7-...\]

Da mesma maneira podemos representar os números para a ordem \(\trianglelefteq \), ainda com os menores (para \(\trianglelefteq \)) à esquerda e os maiores (para \(\trianglelefteq \)) à direita. A diferença é que agora não se podem representar numa recta (o que tem a ver com o facto de nem sempre se ter \(a\trianglelefteq b\) ou \(b\trianglelefteq a\)). Além disso, o esquema torna-se rapidamente muito sobrecarregado. Podemos, por isso, ver essa representação só em alguns conjuntos finitos; com esta representação é fácil ver se um conjunto tem máximo para \(\trianglelefteq \).