Caso geral

Consideremos, agora, o caso de A estar acima da linha de água. Na aplicação seguinte, para uma dada escolha das velocidades de corrida e de natação, ao deslocar C pode ver o tempo que o nadador-salvador leva a chegar ao banhista, para cada uma das escolhas de C na linha de costa; e, portanto, consegue determinar aproximadamente a melhor posição para o ponto C, isto é, aquela que define o trajeto mais rápido.2

Este é uma Apliqueta Java criado utilizando o GeoGebra de www.geogebra.org - parece que não tem o Java instalado, aceda a www.java.com

Sejam D e E os pontos da linha de costa mais próximos, respectivamente, de A e de B. A razão entre as distâncias do ponto C, a D e a A, mede o grau de afastamento do percurso na areia, relativamente à perpendicular à linha de costa; e, analogamente para a razão entre as distâncias de C, a E e a B, no percurso em água. Na aplicação anterior, estão ainda representadas: a vermelho, o quociente entre aquelas duas razões, variável com a posição do ponto C, e a verde, o quociente entre as velocidades de corrida e de natação, este independente da posição de C (e das de A e B).

Deslocando o ponto C, é possível observar que o percurso óptimo, correspondente ao mínimo de tempo (curva a preto) parece obter-se quando as razões das inclinações e das velocidades são iguais, o que se verifica se a abcissa de C for a do ponto de intersecção dos gráficos a verde e a vermelho.

De seguida, iremos demostrar que o melhor percurso é, de facto, aquele em que há igualdade entre as duas razões.


2 Se tiver o Geogebra instalado no seu computador, poderá preferir importar o applet daqui e executá-lo localmente.