Caminhos numa superfície 
Associatividade
Quando dizemos que o produto de números reais é associativo, estamos a referir-nos à propriedade \((a.b).c=a.(b.c)\), ou seja, estamos a dizer que num produto de três elementos é indiferente começar por multiplicar os dois primeiros factores e depois multiplicar o resultado pelo último ou começar por multiplicar os dois últimos e depois multiplicar o primeiro por esse resultado.
Na associatividade do produto de caminhos (considerando as classes de homotopia) a verificação a fazer é análoga: ver que, dados três caminhos contíguos, o caminho que resulta do produto dos dois primeiros seguido do produto pelo terceiro é homotópico ao caminho que resulta do produto dos dois últimos a multiplicar pelo primeiro.
Mais formalmente, dados \(f_{1}\), \(f_{2}\) e \(f_{3}\) de \([0,1]\) em \(S\), tais que \(f_{1}(1)=f_{2}(0)\) e \(f_{2}(1)=f_{3}(0)\), \((f_{1}.f_{2}).f_{3}\) é homotópico a \(f_{1}.(f_{2}.f_{3})\).
Tendo em conta a descrição da operação em caminhos percorridos durante uma hora, os produtos acima vão diferir no tempo e velocidades com que se percorre cada trilho.
No primeiro caso, \((f_{1}.f_{2}).f_{3}\):
O produto final é \((f_{1}.f_{2})\) por \(f_{3}\), ou seja, a primeira meia hora para \((f_{1}.f_{2})\) e última meia para \(f_{3}\); e como na primeira meia hora temos de percorrer dois caminhos, o primeiro quarto de hora fica para \(f_{1}\) e o segundo para \(f_{2}\). Ou seja, no primeiro quarto de hora é percorrido \(f_{1}\) (a uma velocidade quatro vezes maior que no caminho inicial), no segundo quarto de hora é percorrido \(f_{2}\) (também a uma velocidade quatro vezes maior) e na última meia hora é precorrido \(f_{3}\) (ao dobro da velocidade inicial)
Formalmente, \(g_{1}=(f_{1}.f_{2}).f_{3}\) de \([0,1]\) em \(S\) pode ser definida por: \[g_{1}(t)=\begin{cases} \begin{array}{lcl} f_{1}(4t) & \mbox{se} & 0\leq t\leq0.25\\ f_{2}(4t-1) & \mbox{se} & 0.25\leq t\leq0.5\\ f_{3}(2t-1) & \mbox{se} & 0.5\leq t\leq1 \end{array}\end{cases}\]
No segundo caso, \(f_{1}.(f_{2}.f_{3})\):
O produto final é \(f_{1}\) por \((f_{2}.f_{3})\), ou seja, a primeira meia hora para \(f_{1}\) e última meia para \((f_{2}.f_{3})\); e como na última meia hora temos de percorrer dois caminhos, fica um quarto de hora para cada um deles. Ou seja, na primeira meia hora é percorrido \(f_{1}\) (ao dobro da velocidade inicial), no terceiro quarto de hora é percorrido \(f_{2}\) (a uma velocidade quatro vezes maior que no caminho inicial) e no último quarto de hora é precorrido \(f_{3}\) (também a uma velocidade quatro vezes maior).
Formalmente, \(g_{2}=f_{1}.(f_{2}.f_{3})\) de \([0,1]\) em \(S\) pode ser definida por:\[g_{2}(t)=\begin{cases} \begin{array}{lcl} f_{1}(2t) & \mbox{se} & 0\leq t\leq0.5\\ f_{2}(4t-2) & \mbox{se} & 0.5\leq t\leq0.75\\ f_{3}(4t-3) & \mbox{se} & 0.75\leq t\leq1 \end{array}\end{cases}\]
Portanto, os caminhos produto são diferentes! Mas a associatividade verifica-se no conjunto das classes de homotopia, ou seja, mostra-se que os caminhos são homotópicos, bastando uma variação contínua das velocidades de percurso (ou da coloração dos elásticos).
Formalmente, uma homotopia \(H\) de \([0,1]\times[0,1]\) em \(S\) (entre \(g_{2}\) e \(g_{1}\)) pode ser dada por:\[H(t,x)=\begin{cases} \begin{array}{lcl} f_{1}\left(\frac{4t}{2-x}\right) & \mbox{se} & 0\leq t\leq\frac{2-x}{4}\\ f_{2}(4t-2+x) & \mbox{se} & \frac{2-x}{4}<t\leq\frac{3-x}{4}\\ f_{3}\left(\frac{-3+4t+x}{1+x}\right) & \mbox{se} & \frac{3-x}{4}<t\leq1 \end{array}\end{cases}\]
