Introdução

A função Gama, cuja origem está ligada à interpolação de funções e ao cálculo integral, tem sido essencial em inúmeros capítulos da história da Matemática. Esboçaremos aqui o seu perfil dinâmico.

Considere a seguinte tabela de valores da função factorial:

\(n\) \(0\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\) \(6\) \(7\) \(8\) \(...\)
\(n!\) \(1\) \(1\) \(2\) \(6\) \(24\) \(120\) \(720\) \(5040\) \(40320\) \(...\)

Se inserirmos \(\frac{1}{2}\) na primeira linha entre \(0\) e \(1\), que valor devemos associar-lhe na segunda linha de modo a interpolar a função factorial nesse valor intermédio? Há inúmeras maneiras de o fazer, por isso convém ser mais preciso na pergunta. No tempo de Euler, a quem a questão foi colocada, uma função era sinónimo de uma expressão analítica que deveria envolver as operações algébricas elementares, somas ou produtos infinitos, ou os operadores usuais de derivação ou integração. Procuramos, portanto, uma fórmula que, quando estimada nos números naturais, forneça por ordem os valores dos factoriais, e que também atribua um valor a \(\frac{1}{2}\). Ainda assim, a resposta não é única, mas a de Euler, numa carta a Goldbach em 1729, foi inequívoca: \(\left(\frac{1}{2}\right)! = \sqrt{\pi}/2\).

O que significa e que importância tem esta resposta?

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Este texto é uma versão ligeiramente modificada do seguinte artigo publicado pelo Atractor na Gazeta de Matemática