ATRACTOR

No caso planar existe ainda uma outra definição de curvatura (com sinal). Neste caso, tem-se que uma curva plana é determinada, a menos de um movimento euclidiano, pela sua curvatura com sinal. Este facto, leva-nos à conjectura de que uma curva espacial é determinada, a menos de um movimento euclidiano, pela sua curvatura e pela sua torção. De facto, tal é verdade mas temos de incluir uma condição suplementar (essencial para garantir a unicidade).

TEOREMA FUNDAMENTAL DAS CURVAS (T. F. Curvas):

Seja \(P_{0}\) um ponto de \(\mathbb{R}^{3}\) e \(TF_{0}\) um triedro ortonormado definido positivamente. Sejam \(k,\tau:\, I\rightarrow\mathbb{R}^{3}\) duas funções contínuas, com \(k>0\) em \(I\).

Então, existe uma e uma só curva \(C^{2}\), \(c:\, I\rightarrow\mathbb{R}^{3}\), parametrizada pelo comprimento de arco, cuja função curvatura é \(k\), cuja função torção é \(\tau\), cujo ponto inicial é \(P_{0}\) e cujo Triedro de Frenet inicial é \(TF_{0}\).

(Ver, por exemplo: M. Spivak, A comprehensive introduction to differential geometry (vol. 2); 1999)

Observação: O pressuposto de que a curvatura é sempre maior que zero é essencial para garantir a unicidade da curva. Com efeito:

(1) Consideremos as seguintes funções em \(\mathbb{R}^{3}\):

\[f(t)=\left(t^{3},t,0\right);\] \[g(t)=\begin{cases} \left(t^{3},t,0\right), & \mbox{se }t<0\\ \left(0,t,t^{3}\right), & \mbox{se }t\geq0 \end{cases}.\]

As duas funções têm a mesma função curvatura e esta anula-se em \(t=0\). A torção em ambos os casos é sempre nula nos pontos onde esta está definida (todos os pontos, com excepção do instante zero). Os pontos iniciais e os Triedros de Frenet iniciais também são os mesmos nas duas curvas (note-se que as curvas são coincidentes até ao instante \(t=0\)). Mas não há nenhum movimento euclidiano que possa levar uma das curvas na outra, como se pode ver na figura seguinte:

(2) Um outro exemplo semelhante ao anterior pode ser dado pelas funções:

\[f(t)=\begin{cases} \left(0,0,0\right), & \mbox{se }t=0\\ \left(t,0,5e^{-t^{-2}}\right), & \mbox{se }t\neq0 \end{cases};\] \[g(t)=\begin{cases} \left(t,5e^{-t^{-2}},0\right), & \mbox{se }t<0\\ \left(0,0,0\right), & \mbox{se }t=0\\ \left(t,0,5e^{-t^{-2}}\right), & \mbox{se }t>0 \end{cases}.\]

(A. Gray, Modern Geometry of Curves and Surfaces, pp. 142-145)

Este tipo de exemplos justifica a opção de não se considerar que a torção seja zero quando a curvatura é nula. Com a opção tomada, continua a ser válido que uma curva tem torção nula num intervalo se e só se a curva for planar nesse mesmo intervalo. Repare que se a torção fosse zero nos pontos onde a curvatura se anula, tal já não seria verdadeiro (ver, por exemplo, as funções \(g\) apresentadas acima).