ATRACTOR

(Aritmética modular)

A que é igual \(5 \times 10\) na Aritmética Módulo \(12\)? Na aritmética usual seria igual a \(50\), mas para respondermos correctamente à nossa pergunta temos que saber qual é o resto que \(50\) tem quando é dividido por \(12\). Uma vez que este resto é igual a \(2\), dizemos que \[5 \times 10=2\,(\mbox{mod }12).\]

E se considerássemos agora o módulo \(9\) em vez de \(12\)? Procedíamos de maneira análoga, mas neste caso a divisão considerada seria por \(9\) e não por \(12\). Uma vez que \(50 = 5 \times 9 + 5\), dizíamos que \[5 \times 10=5\,(\mbox{mod }9).\]

Caso pretenda confirmar se já sabe multiplicar nesta aritmética, veja a seguinte app.

A Multiplicação modular apresenta diversas propriedades como, por exemplo:

• A comutatividade (\(a \times b\) é igual a \(b \times a\) para quaisquer \(a\) e \(b\));
• A existência de elemento neutro (existe um número, o um, que verifica \( a \times 1 = a\), para qualquer número \(a\))
• A propriedade de cada número ter inverso só é válida quando estamos em módulo \(p\), com \(p\) primo (o inverso de \(a\) é o número \(b\) - pode ser ele próprio - tal que o produto dos dois dá um, ou seja, \(b \times a = 1\)).

Verifique estas e outras propriedades da multiplicação modular na seguinte Tabuada da Multiplicação "colorida".