ATRACTOR

A área de um triângulo esférico é igual a \[\left(\alpha+\beta+\gamma-\pi\right)r^{2}\] onde \(\alpha\), \(\beta\) e \(\gamma\) são as amplitudes, em radianos, dos ângulos internos do triângulo e \(r\) é o raio da esfera.

Como \(\alpha+\beta+\gamma-\pi\) é o excesso angular de um triângulo esférico, a fórmula dada no Teorema de Girard indica-nos que a área de um triângulo esférico fica determinada pelo seu excesso angular e pelo raio da esfera, sendo que a área e o excesso angular são directamente proporcionais.

Em particular, o excesso angular é sempre positivo, donde podemos concluir que a soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo esférico é sempre superior a \(180^{\circ}\).

Quando o excesso angular é um valor próximo de zero (isto é, a soma das amplitudes dos ângulos internos é um valor próximo de \(\pi\) \(rad\), ou \(180^{\circ}\)), o triângulo é "quase plano" e a sua área é "quase nula". Por outro lado, quando o excesso angular é um valor próximo de \(4 \pi\) \(rad\), ou \(720^{\circ}\) (a soma das amplitudes dos ângulos internos é um valor próximo de \(5 \pi\) \(rad\), ou \(900^{\circ}\)), a sua área é próxima da área da esfera.

O Teorema de Girard conduz-nos ainda a outra enorme diferença entre a Geometria Euclidiana e a Geometria Esférica:

Como a área de um triângulo esférico depende apenas da soma dos seus ângulos internos, na esfera todos os triângulos com ângulos congruentes têm a mesma área; logo, são congruentes. Portanto, na Geometria Esférica não existem triângulos com a mesma forma e áreas diferentes.