Geometria Esférica 
Área de um triângulo
1. Considere-se um triângulo esférico \(T\) contido numa semi-esfera.
Sabe-se que:
- a área da esfera de raio r é igual a \(4\pi r^{2}\).
- a área de um biângulo de amplitude \(\alpha\) é igual a \(2\alpha r^{2}\), com \(\alpha\) em radianos, e é igual a \(\frac{\alpha\pi}{90}r^{2}\).
Considerando os três vértices do triângulo, temos seis biângulos dos quais três intersectam-se no interior do triângulo e os outros três biângulos intersectam-se no interior do triângulo antípoda. Na região esférica restante, os seis biângulos são disjuntos dois a dois.
Sejam \(\alpha\), \(\beta\) e \(\gamma\) as amplitudes em radianos dos ângulos internos do triângulo que são também as amplitudes dos seis biângulos. Temos que a soma da área dos seis biângulos é igual à área da esfera acrescida do dobro da área do triângulo esférico, \(A_{T}\), e do dobro da área do seu antípoda. Como a área de \(T\) é igual à àrea do seu antípoda, obtemos:
\[\begin{array}{lrlll}
& 2\times(2\alpha r^{2}+2\beta r^{2}+2\gamma r^{2}) & = & 4\pi r^{2}+2\times2A_{T}
& \Leftrightarrow\\
& 4r^{2}\left(\alpha+\beta+\gamma\right) & = & 4\pi r^{2}+4A_{T}
& \Leftrightarrow\\
& r^{2}\left(\alpha+\beta+\gamma\right)-\pi r^{2} & = & A_{T}
& \Leftrightarrow\\
& A_{T} & = & \left(\alpha+\beta+\gamma-\pi\right)r^{2}&.
\end{array}\]
Se as amplitudes \(\alpha\), \(\beta\) e \(\gamma\) forem dadas em graus, temos a fórmula \[A_{T}=\left(\alpha+\beta+\gamma-180\right)\frac{\pi}{180}r^{2}\ .\]
2. Considere-se um triângulo esférico \(T\) que não está contido numa semi-esfera. Os seus lados e vértices definem outro triângulo com área menor que denominamos de triângulo complementar, \(T_{C}\), do triângulo \(T\). A área do triângulo esférico \(T\) pode ser calculada através da diferença entre a área da esfera e a área de \(T_{C}\). Como \(T_{C}\) está contido numa semi-esfera, podemos usar a fórmula obtida no ponto anterior para calcular a área de \(T_{C}\).
Sejam \(\alpha\), \(\beta\) e \(\gamma\) as amplitudes em radianos dos ângulos internos do triângulo \(T\) e \(a\), \(b\) e \(c\) as amplitudes em radianos dos ângulos internos do triângulo \(T_{C}\).
Sabe-se que:
- a área da esfera de raio \(r\) é igual a \(4\pi r^{2}\);
- a área de \(T_{C}\) é dada por: \(A_{T_{c}}=\left(a+b+c-\pi\right)r^{2}\ ;\)
- \(\alpha= 2\pi - a, \beta= 2\pi- b\) e \(\gamma= 2\pi - c\).
Assim, a área de \(T\) é dada por:
\[\begin{array}{lrlll} & A_{T} & = & 4\pi r^{2}-A_{T_{c}} & \Leftrightarrow\\ & & = & 4\pi r^{2}-\left(a+b+c-\pi\right)r^{2} & \Leftrightarrow\\ & & = & \left(5\pi-a-b-c\right)r^{2} & \Leftrightarrow\\ & & = & \left(2\pi-a+2\pi-b+2\pi-c-\pi\right)r^{2} & \Leftrightarrow\\ & & = & \left(\alpha+\beta+\gamma-\pi\right)r^{2} & . \end{array}\]
Se as amplitudes \(\alpha\), \(\beta\) e \(\gamma\) forem dadas em graus, temos \[A_{T}=\left(\alpha+\beta+\gamma-180\right)\frac{\pi}{180}r^{2}\ .\]
Portanto, a área de um triângulo esférico é directamente proporcional ao seu excesso angular.
