Viagem ao Interior de PI 
Conhecendo melhor \(\pi\)
A constante \(\pi\) pode ser definida como sendo a razão entre o perímetro e o diâmetro de uma circunferência \[p=\pi d=2\pi r\]
A primeira utilização do símbolo \(\pi\) para representar pi deve-se a William Jones em 1706, sendo depois adoptada por Euler em 1748 a partir do qual se popularizou e tornou a notação padrão para esta constante.
Pode-se provar que o número \(\pi\) é irracional e transcendente.
Um número diz-se irracional quando não pode ser representado por uma fracção de dois inteiros e transcendente se não anular nenhuma função polinomial de coeficientes inteiros.
Durante muito tempo os matemáticos acreditaram que todas as grandezas eram comensuráveis, o que podemos traduzir em linguagem moderna pela afirmação que todos os números eram racionais. Os gregos demonstraram que a diagonal do quadrado não era comensurável com o lado do quadrado, o que nós podemos exprimir em linguagem actual, dizendo que \(\sqrt{2}\) não pode ser expressa como quociente de dois inteiros, ou não é racional.
As características rebeldes destes números valeram-lhes o nome de números irracionais.
Os números racionais têm uma expansão decimal finita (regulares) ou infinita periódica (irregulares).
Como exemplos, temos\[\frac{18241}{148}=123.25\]\[\frac{423579618}{122563546875}=0.00\,345\,6\]que correspondem a números racionais regulares. E os números racionais irregulares\[\frac{6763}{1232}=5.489\,448\,051\,948\,051\,948\,051\,948\,051\,948\,...\]\[\frac{122563546875}{423579618}=289.351\,851\,851\,851\,851\,851\,851\,851\,851 ...\]a primeira destas fracções representando um número racional irregular cujo período é \(L = 480519\) de comprimento \(6\), e a seguinte um número racional irregular cujo período é \(L = 518\) de comprimento \(3\).
O exemplo que se segue parece contrariar o que acabamos de dizer: o desafio é descobrir qual o período do número racional representado pela fracção \(\frac{368}{491},\) \[ \begin{split} \frac{368}{491}=\\ & \hspace-1.8ex 0.749\,490\,835\,030\,549 \,898\, 167\,006\,109\,979\,633\\ & \, 401\,221\,995\,926\,680\,244\, 399\,185\,336\,048\,879\,\\ & 837\, 491\, 067\,209\, 775\, 967\,413\,441\,955\,193\, 482\, \\ &688\,391\,038\,696\,537 \,678\,207\,739\,307\,535\,641\,\\ & 547\,861\,507\,128\, 309\,572\,301\,425\, 661\, 914\,460\,\\ & 285\,132\,382\, 892\,057\,026\,476\,578\, 411\, 405\,295\,\\ &315\,682\,281\, 059\, 063\,136\, 456\,211\,812\,627\, 291\, \\ &242\,362\,525\,458\,248\, 472\,505\,091\,649\,694\,501 \,\\ & 018\,329\,938\,900\,203\, 665\, 987\,780\, 040\,733\,197\,\\ & 556\, 008\, 146\,639\,511\,201\, 629\, 327\,902\,240\,325\,\\ &865\,580\, 448\,065\,173\,116\,089\, 613\, 034\,623\, 217\,\\ &922\, 606\, 924\,643\,584\, 521\,384\, 928\, 716\,904\,276\,\\ &985\,743\, 380\,855\,397\,148\,676\,171\, 079\,429\,735\,\\ &234\, 215\,885\, 947\,046\,843\,177\,189\,409\, 368\, 635\,\\ & 437\,881\,873\,727\, 087\,576\,374\,745\,417\,515\, 274\,\\ & 949\,083\,503\, 054\,989\, 816\, 700\,610\,997\,963\,340\, \\ &122\, 199\,592\,668\,024\,439\, 918\,533\,604\,887\,983\,\\ &706\, 720\, 977\,596\,741\, 344\,195\, 519\, 348\,268\,839\,\\ &103\,869\, 653\, 767\,820\,773\,930\,753\, 564\,154\,786\,\\ & 150\,712\,830\, 957\,230\,142\,566\, 191\,446\, 028\, 513\,\\ & 238\,289\,205\,702\, 647\, 657\,841\,140\,529\,531\, 568\,\\ & 228\,105\,906\,313\,645\, 621\,181\,262\,729\, 124\,236\,\\ & 252\,545\, 824\, 847\,250\,509\,164\,969 \,450\,101\, 832\,\\ &993\,890\,020\, 366\,598\,778\,004\,073\, 319\, 755\,600\,\\& 814\,663\, 951\, 120\,162\,932\,790\,224\, 032\, 586\,558\,\\ &044\,806\,517\, 311\,608\,961\,303\,462\,321\, 792\,260\,\\ &692\,464\, 358\,452 \,138 \,492\,871\,690\, 427\,698\, 574 \,\\ &338\,085\,539\,714\,867\, 617\,107\,942\,973\,523\,421\,\\ & 588\,594\,704\,684\, 317\,718\, 940\, 936\,863\,543\,788\,\\ &187\, 372\, 708\,757\,637\,474\,541\, 751\,527\,494\,908\,\\ &350\,305 \,498\,981, \ldots \end{split} \]
Ao contrário dos números racionais, os irracionais têm uma expansão decimal infinita e não periódica.
Lambert em 1761 e Legendre em 1794 provaram que \(\pi\) é irracional.
Em 1882, Lindemann demonstrou que \(\pi\) é transcendente, isto é, não pode ser expresso como raiz de uma equação algébrica de coeficientes racionais. Resulta daqui que \(\pi\) nunca poderia ser construído com recurso a uma régua e compasso (com um número finito de passos). Só o podem números que não sejam transcendentes e, mesmo assim, dum tipo muito particular.
Uma consequência directa deste facto resulta em que um dos mais famosos problemas geométricos da antiguidade, a quadratura do círculo, não é possível.
Apesar da sua simples definição, o número \(\pi\) surge em inúmeras relações na matemática, física e engenharia, em temas bem diferentes dos que envolvem áreas de círculos ou comprimentos de arco.
